拉普拉斯特征映射

Question

如题所述

Answer 1

拉普拉斯特征映射是一种在图网络中常用的降维方法。假设图包含n个结点，新空间维度为m，Y是n*m大小的特征矩阵，W是n*n的邻接矩阵。目标是使得原本相似的结点在新空间中更加接近。优化目标可表示为：

公式1

公式1中，Yi表示第i个结点的特征，权重wij表示第i和j个样本之间的关联度。优化目标旨在通过求解公式1，使得相似样本在新空间的表示更加接近。

在矩阵运算中，有一个重要性质是矩阵迹的特性。根据该性质，我们可以简化优化目标公式1中的矩阵迹运算。

公式2

公式2中的D是图的度矩阵，L是图的拉普拉斯矩阵。在优化目标中，求和过程是对每两个样本之间的内积加权操作。通过定义Z为n*m的矩阵，其中每一行表示一个样本在新空间的表示，我们定义：

公式3

公式4

这里，Zi和Zj分别表示Z的第i行和第j行向量。优化目标公式1经过简化和转换后，等价于：

公式5

公式5展示了拉普拉斯特征映射优化目标的最终形式。通过求解此目标，我们可以得到将n个结点映射到m维新空间的最优特征矩阵Y，使得相似结点在新空间中的表示更加接近。