极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。下面以较基础的数列极限求法为例。
首先列举判断数列敛散性的方法：
一、根据定义判定，包括：
1、利用数列极限的ε-N定义。对应的是，可以根据伊普西龙N定义，判定一个数不是数列的极限。如果这个数具有任意性，那么该数列就发散。
设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限.
2、收敛数列有与邻域相关的数列极限定义。相对应的也有否定一个定数是数列的极限的定义。同样的，如果这个数具有任意性，那么数列就发散。
任给ε>0，若在U(a; ε)之外数列{an}的项至多只有有限个，则称数列{an}收敛于极限a.
定义一般用来证明数列的敛散性，较少用于求数列的极限。
二、利用数列收敛的充要条件来判定，一共有三个充要条件：
1、数列通项an与定数a的差表示的数列是一个无穷小数列；
2、数列的任何非平凡子列都收敛；同时决定了它们收敛于同一极限。如果数列存在发散的非平凡子列，就证明数列发散；或者数列存在极限不同的非平凡子列，也说明数列发散；
3、柯西收敛准则。对应的也有数列发散的柯西充要条件。
对任何ε>0，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε.
这些充要条件也主要是用于判断数列的敛散性。 三、利用性质
比如利用收敛数列的迫敛性，有时候也用它来求极限。
接下来介绍求极限的常用方法：
一、求极限最常用到的方法，还是利用极限的四则运算法则。
它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：
1、相反的收敛数列极限相反；
2、互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零；
3、和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0；
4、收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方；
5、以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。
二、利用极限的单调有界定理。
其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。
三、利用两个常见的极限求极限，就是当x趋于0时，sinx/x的极限和1的无穷次方类型的极限。
四、等价无穷小替换，要熟记常见的等价无穷小的类型。
五、用洛必达法则，针对0/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。
六、利用泰勒公式求极限的方法。
还有把极限化为导数或积分求极限的方法等。大多数的求极限法中，都浸透有换元的思想，所以你还可以说有一种换元法。
