最值函数的性质

Question

如题所述

Answer 1

最值函数的性质有三种。分别如下：

性质1：设函数y=f （x）是定义域为区间 （a，b）的连续可导函数，若 x0∈（a，b）是函数 y=f （x）的最大（小）值点，则 f ′（x）=0

性质2：设函数 y=f （x）是定义域为区间（a，b）的连续可导函数，若 x0∈（a，b）是函数 y=f （x）的极大（小）值点，且函数 y=f （x）在区间 （a，b）只有一个极值点，则 x0是函数y= f （x）的最大（小）值点

性质3：设函数y=f （x）是定义域为区间 （a，b）上的凸（凹）函数，若 x0∈（a，b）且满足f ′（x0）=0，则x0是函数 y=f （x）的极大（小）值点，也是最大（小）值点。

一般地，设函数y=f （x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对任意的x∈I，都有f （x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得
f （x0）=M.那么，称
M是函数的最大值.
由定义，我们不难知道：若函数
y=f （x）的定义域为I，对于任意的x∈I，存在
x0∈I，使得
f （x）≤f （x0），则函数
y=f （x）在x0处取得最大值；

反之，函数
y=f （x），x∈I，在x0处取得最大值，则有
f （x）≤f （x0）对任意的x∈I恒成立。