第1个回答 2022-07-05
前言：
开学初，老师在讲基本图形时，我们的锐同学问了这样一个问题——老师，你能画出正一百边形吗？老师起初不以为意，试探性地引导锐同学自行探索，不成想，我们的锐同学硬是锲而不舍地追问了3天，与老师一起探索出了问题的答案，并在一个周末，高质量地创作出了本论文。
学期初，我们在学习几何图形时，老师提到了正多边形，我的大脑中突然冒出来一个问题：正一百边形是什么样子？是不是与圆非常接近呢？想到这个问题后，激动又好奇的我多次追问老师如何画出正一百边形。不料，每次老师都回复相同的话：“为什么要直接问老师最终的答案呢？你完全可以自己去探索的。”
好吧，那我就自己先想想吧。emmmmm，对于一个几何图形来说，我们一般会从 边 与 角 两个方面去研究。说到正一百边形，我现在能知道的是：
（1）有100条边，而且每条边都相等；
（2）有100个角，每一个角都相等。
其中，最重要的应该是角度，因为对正一百边形来说，边长可以取任意值，但角度是确定的。所以，只要知道了正一百边形的角度，再确定边长的长度，就可以借助量角器和直尺画出正一百边形了。
想到这里， 原先的问题就转化成了如何确定正一百边形的内角度数 。但如何确定角度呢？我思考了很久，一直没有头绪，那就再去问老师吧。
老师依然没有直接告诉我答案，而是问了我一连串问题：
（1）三角形的内角和是多少度？
（2）四边形的内角和是多少度？
（3）五边形呢？你能发现什么规律吗？
三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，这些都是小学学过的知识。五边形的内角和度数我并不知道，一开始我猜是720°，因为从三角形的180°到四边形的360°，扩大了一倍。但当我 画出一个五边形，并用量角器实际测量后却发现，结果不是720°，而是540° ！原来变化规律不是翻倍，而是增加180°。如果这样的话，那六边形的内角和就应该是720°了， 经过实际测量 ，结果确实是这样。看来，从三角形开始，每增加1条边，内角和就增加180°，那么对于任意的n边形，它的内角和就应该是：
180°×（n-3+1）=180°×（n-2）
那么，正一百边形的内角和就应该是180°×（100-2）=180°×98=17640°，每一个内角就应该是17640°÷100=176.4°。
欧耶！我终于知道如何画出一个正一百边形了！这时，老师又问了我一个问题： 你发现的多边形内角和规律一定是正确的吗？你尝试证明这个规律了吗？
天呐，还要证明这个结论！那该怎么证明呢？又是一番思考，如下图所示，我画了几个最简单的多边形。三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，正好可以利用对角线将其分成两个三角形。顺着这个思路，我将五边形分成了3个三角形，那就是180×3=540°。同样的，六边形可以分割成4个三角形。依次类推，那n边形就可以分成n-2个三角形了。
为什么会这样呢？首先，分割n边形的对角线，是从n边形的一个顶点引出的。n边形共有n个顶点，但顶点本身不能画一条对角线，与顶点相邻的两个顶点也不能画对角线，这样一来，只能引出n-3条对角线。而n-3条对角线，可以把n边形分割成n-3+1，也就是n-2个三角形。这个道理非常简单，就像小学做过的锯木头的应用题一样。
后来，我还与老师讨论了另一种分割方法，如下图所示：以六边形为例，我们在图形内任取一点，依次连接各个顶点，很明显，将六边形分割成了6个三角形。6个三角形的内角和是180°×6=1080°。可是，千万别忘了，这6个三角形的内角和并不是六边形的内角和，因为还多加了中间的一个周角，也就是多加了360°。所以，六边形的内角和应该是1080°-360°=720°。
对n边形来说，在图形内任取一点，依次连接各顶点，可以将n边形分割成n的小三角形，再减去中间的周角，就可以得到n边形的内角和是：
180°×n-360°=180°×n-180°×2=180°×（n-2）
与第一种方法得到的结果完全一样！现在，可以理直气壮地应用多边形内角和公式了吧。
可是，新的问题又来了，我想画的正一百边形的内角是176.4°，我看了一眼手中的量角器，根本没有办法精确画出这个角度，而且，这个度数已经非常接近于平角了。怎么办呢？那就退而求其次，画一个边数少一点的正多边形吧。最后我选择了n=20，也就是正二十边形，通过公式计算得到内角是162°。
最后，给大家看看我的成果吧，说实话，还真的挺难画的，稍不注意就画偏了，哈哈。
老师的话：
锐同学，当我收到你的论文初稿时，着实大吃一惊，没想到当时试探性的一句话，你竟然如此认真的对待。
此次修改你的作品，我增加了一些对话的细节，目的主要有三：
1、希望能让你（也包括班里其他同学），再一次感受探索的过程，就像我一开始对你说的，为什么要直接问老师最后答案呢？你完全可以自己去探索的！
2、希望你不再满足于只知道最后的结果，而是去深究背后的原因，思考为什么会是这样的结果。
3、希望你能保持现在的好奇心与探索欲，这比掌握知识本身要重要的多。
开学短短一个月，已然如此美好，老师期待你更加精彩的表现！努力向前飞吧，锐同学！