正交矩阵的性质

Question

如题所述

Answer 1

这种矩阵的性质有行列式为±1、保持向量长度不变、保持向量夹角不变、行（列）向量正交且为单位向量和逆矩阵等于转置矩阵。
1、行列式为±1，正交矩阵的行列式值总是等于±1，因为正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，而行列式与转置矩阵的行列式相等。
2、保持向量长度不变，正交矩阵对向量进行变换时，不会改变向量的长度。因为正交变换保持向量的内积不变，而向量长度的平方等于其与自身的内积。
3、保持向量夹角不变，经过正交矩阵变换后的向量之间的夹角与原向量之间的夹角相同。是由正交变换保持内积的性质决定的。
4、行（列）向量正交且为单位向量，正交矩阵的每一行（或每一列）都是单位向量，并且任意两行（或两列）都是正交的。这保证了正交矩阵在几何变换中的“形状保持”特性。
5、逆矩阵等于转置矩阵，正交矩阵的一个重要性质是其逆矩阵等于其转置矩阵。使得正交矩阵在运算上非常便利，特别是在涉及矩阵乘法和求逆的场合。