二次函数与四边形
一．二次函数与四边形的形状
例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线 与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线 与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平
行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线 的抛物线经过点
A（6，0）和 B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（ ， ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与 轴交于点 和 的抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 关于 轴对称，顶点为 ．
（1）求抛物线 的函数关系式；
（2）已知原点 ，定点 ， 上的点 与 上的点 始终关于 轴对称，则当点 运动到何处时，以点 为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在 上是否存在点 ，使 是以 为斜边且一个角为 的直角三角形？若存，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
练习3.（山西卷）如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， ．
（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式；
（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），顶点为 ，四边形 的面积为 ．若点 ，点 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点 ，点 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 与点 重合为止．求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．
二．二次函数与四边形的面积
例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x … -3 -2 1 2 …
y … -
-4 -
0 …
(1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k•DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
练习3.（吉林课改卷）如图，正方形 的边长为 ，在对称中心 处有一钉子．动点 ， 同时从点 出发，点 沿 方向以每秒 的速度运动，到点 停止，点 沿 方向以每秒 的速度运动，到点 停止． ， 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设 秒后橡皮筋扫过的面积为 ．
（1）当 时，求 与 之间的函数关系式；
（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求 值；
（3）当 时，求 与 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时 的变化范围；
（4）当 时，请在给出的直角坐标系中画出 与 之间的函数图象．
练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.
(1) 求l2的解析式；
(2) 求证：点D一定在l2上；
(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值
.
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积， 表示矩形NFQC的面积．
（1） S与 相等吗？请说明理由．
（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）如图11，连结BE，当AE为何值时， 是等腰三角形．
练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点 从 出发以每秒2个单位长度的速度向 运动；点 从 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点 作 垂直 轴于点 ，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点 （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自
变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，
若不存在，说明理由．
练习2..(江西省) 25．实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形 的顶点 的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点 的坐标，它们分别是 ， ， ；
（2）在图4中，给出平行四边形 的顶点 的坐标（如图所示），求出顶点 的坐标（ 点坐标用含 的代数式表示）；
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 （如图4）时，则四个顶点的横坐标 之间的等量关系为 ；纵坐标 之间的等量关系为 （不必证明）；
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线 和三个点 ， （其中 ）．问当 为何值时，该抛物线上存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的 点坐标．
答案：
一．二次函数与四边形的形状
例1.解：（1）令y=0，解得 或 ∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入 得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），
E（ ∵P点在E点的上方，PE=
∴当 时，PE的最大值=
（3）存在4个这样的点F，分别是
练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 ．把A、B两点坐标代入上式，得
解之，得
故抛物线解析式为 ，顶点为
（2）∵点 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是 的对角线，
∴ ．
因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的
取值范围是1＜ ＜6．
① 根据题意，当S = 24时，即 ．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以 是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以 不是菱形．
② 当OA⊥EF，且OA = EF时， 是正方形，此时点E的
坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，
使 为正方形．
练习2.解：（1）由题意知点 的坐标为 ．设 的函数关系式为 ．
又 点 在抛物线 上， ，解得 ．
抛物线 的函数关系式为 （或 ）．
（2） 与 始终关于 轴对称， 与 轴平行．
设点 的横坐标为 ，则其纵坐标为 ， ， ，即 ．当 时，解得 ．当 时，解得 ． 当点 运动到 或 或 或 时，
，以点 为顶点的四边形是平行四边形．
（3）满足条件的点 不存在．理由如下：若存在满足条件的点 在 上，则
， （或 ），
．
过点 作 于点 ，可得 ．
， ， ．
点 的坐标为 ．
但是，当 时， ．
不存在这样的点 构成满足条件的直角三角形．
练习3. [解] （1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ， ． 设抛物线 的解析式是
，则 解得
所以所求抛物线的解析式是 ．
（2）由（1）可计算得点 ．
过点 作 ，垂足为 ．
当运动到时刻 时， ， ．
根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平行四边形．
所以 ．所以，四边形 的面积 ． 因为运动至点 与点 重合为止，据题意可知 ．
所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 ．
（3） ，（ ）．
所以 时， 有最大值 ．
提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形 能形成矩形．
由（2）知四边形 是平行四边形，对角线是 ，所以当 时四边形 是矩形．
所以 ．所以 ．
所以 ．解之得 （舍）．
所以在运动过程中四边形 可以形成矩形，此时 ．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
二．二次函数与四边形的面积
例1. 解：（1）解法一：设 ，
任取x,y的三组值代入，求出解析式 ，
令y=0，求出 ；令x=0，得y=-4，
∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .
解法二：由抛物线P过点(1，- )，(-3， )可知，
抛物线P的对称轴方程为x=-1，
又∵ 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，
点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .
（2）由题意， ，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，
又 ，EF=DG，得BE=4-2m，∴ DE=3m，
∴ =DG•DE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0＜m＜2) .
注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.
(3)∵SDEFG=12m-6m2 (0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .
当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，
设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k= ，b=- ，∴ ，
又可求得抛物线P的解析式为： ，
令 = ，可求出 . 设射线DF与抛物线P相交于点N，
则N的横坐标为 ，过N作x轴的垂线交x轴于H，有
= = ，
点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是
k≠ 且k＞0.
说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.
若选择另一问题：
(2)∵ ，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，
又∵ ， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，
∴ =DG•FG=6.
练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC． ••••••••••••••••• 1分
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ••••••••••••••••••• 3分
（写错一个点的坐标扣1分）
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为 ，
∵抛物线过点A（0，4），
∴ ．则抛物线关系式为 ． •••••••••••••• 4分
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
•••••••••••••••••••••••••••• 5AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ 分
解得 ••••••••••••••••••••• 6分
所求抛物线关系式为： ．•••••••• 7分
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． •••••••••• 8分
∴
OA（AB+OC） AF•AG OE•OF CE•OA
（ 0＜ ＜4） •••••••• 10分
∵ ． ∴当 时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ••••••• 12分
（4）当 时，GB=GF，当 时，BE=BG． 14分
练习3.[解] （1）当 时， ， ， ，
即 ．
（2）当 时，橡皮筋刚好触及钉子，
， ， ， ．
（3）当 时， ，
， ，
，
即 ．
作 ， 为垂足．
当 时， ， ， ，
，
即 ．
或
（4）如图所示：
练习4.[解] (1) 设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵l1与x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2与l1关于x轴对称，
∴l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，
∴
∴ a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式为y= -x2+4 .
(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)
(2) 设点B(m，n)为l1：y=x2-4上任意一点，则n= m2-4 (*).
∵ 四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，
∴ B、D关于原点O对称，
∴ 点D的坐标为D(-m,-n) .
由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，
即点D的坐标满足y= -x2+4，
∴ 点D在l2上.
(3) □ABCD能为矩形.
过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l1：y=x2-4上，可设点B的坐标为 (x0，x02-4)，
则OH=| x0|，BH=| x02-4| .
易知，当且仅当BO= AO=2时，□ABCD为矩形.
在Rt△OBH中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22，
(x02-4)( x02-3)=0，∴x0=±2(舍去)、x0=±3 .
所以，当点B坐标为B(3 ，-1)或B′(-3 ，-1)时，□ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D(-3 ，1)、D′( 3 ，1).
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′ .
设直线AB与y轴交于E ，显然，△AOE∽△AHB，
∴ EOAO = BHAH ，∴ .
∴ EO=4-2 .
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为
S=2SΔACE=2×12 × AC ×EO =2×12 ×4×(4-23 )=16 - 83 .
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴ ．即 ．∴y= (0＜x＜4)．
且当x=2时，y有最大值 ．
(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．
设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则 ∴
y= ．
(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．
将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，
∴该直线为y=x＋1．
由 得 ∴Q(5，6)．
故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．
例2.解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ……………………1分
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） …………………4分
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
解得
∴所求抛物线的表达式为y＝ x2 x＋8 ………………………7分
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC
∴ 即
∴EF＝
∴ ＝ ∴FG＝ • ＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝ （8－m）×8－ （8－m）（8－m）
＝ （8－m）（8－8＋m）＝ （8－m）m＝－ m2＋4m …………10分
自变量m的取值范围是0＜m＜8 …………………………11分
（4）存在．
理由：∵S＝－ m2＋4m＝－ （m－4）2＋8 且－ ＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ………………………12分
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形． …………………………14分
（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
例3解: （1）相等
理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，
所以
所以 即：
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，
所以 ，即
配方得： ，所以当 时，
S有最大值3
（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝ 或AE＝3.6时， 是等腰三角形
练习1． 解：（1）点 M 1分（2）经过t秒时， ，
则 ， ∵ = = ∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴当 时，S的值最大．
（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则 ， ∴ = =
①若 ，则 是等腰Rt△ 底边 上的高
∴ 是底边 的中线 ∴ ∴ ∴
∴点 的坐标为（1，0）
②若 ，此时 与 重合∴ ∴ ∴
∴点 的坐标为（2，0）
练习2.解：（1） ， ．
（2）分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，
分别过 作 于 ， 于点 ．
在平行四边形 中， ，又 ，
．
．
又 ，
．
， ．
设 ．由 ，得 ．
由 ，得 ． ．
（3） ， ．或 ， ．
（4）若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ．要使 在抛物线上，
则有 ，即 ．
（舍去）， ．此时 ．
若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ，同理可得 ，此时 ．
若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ，同理可得 ，此时 ．
综上所述，当 时，抛物线上存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形．
符合条件的点有 ， ， ．
练习3.解：⑴由Rt△AOB≌Rt△CDA得
OD=2+1=3,CD=1
∴C点坐标为(－3,1),
∵抛物线经过点C,
∴1= (－3)2 a＋(－3)a－2，∴ 。
∴抛物线的解析式为 .
⑵在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。
以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G，
可证△PBE≌△AQG≌△BAO，
∴PE＝AG＝BO＝2，BE＝QG＝AO＝1，
∴∴P点坐标为（2,1），Q点坐标为（1,－1）。
由（1）抛物线 。
当x＝2时，y＝1，当x＝,1时，y＝－1。
∴P、Q在抛物线上。
故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ是正方形。
⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。
延长CA交抛物线于Q，过B作BP∥CA交抛物线于P，连PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2,
∵A（－1,0），C（－3,1），
∴CA的解析式 ，同理BP的解析式为 ，
解方程组 得Q点坐标为（1,－1），同理得P点坐标为（2,1）。
由勾股定理得AQ＝BP＝AB＝ ，而∠BAQ＝90°，
∴四边形ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ是正方形。
⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。
如图，将线段CA沿CA方向平移至AQ，
∵C（－3,1）的对应点是A（－1,0），∴A（－1,0）的对应点是Q（1,－1），再将线段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P（2,1）
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴四边形ABPQ是正方形。经验证P（2,1）、Q（1,－1）两点均在抛物线 上。
⑶结论② 成立，
证明如下：连EF，过F作FM∥BG交AB的延长线于M，则△AMF∽△ABG，
∴ 。由⑴知△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1＝∠2＝45°。∵AF＝AE，∴∠AEF＝∠1＝45°。∴∠EAF＝90°，EF是⊙O´的直径。
∴∠EBF＝90°。∵FM∥BG，∴∠MFB＝∠EBF＝90°，∠M＝∠2＝45°，
∴BF＝MF，
∴
追问没图，怎么做啊？发个邮件好不好啊？
[email protected]