设a1,a2,.....,an为n唯列向量，B为m*n阶矩阵，如果a1,a2,.....,an线性无关，是否B*a1,B*a2,..,B*an线性无关

Question

是矩阵B乘以列向量。。。。。。。请尽量详细解答，非常感谢！！！

Answer 1

取决于B的秩证明如下：
把问题转化为求B*a1,B*a2,..,B*aN的秩<=>B*A的秩。（A=a1,a2,.....,an）
已知R（AB）<=min{R(A),R(B)},设B*A=C，则R(c)<=min{R(A),R(B)}<=R(B)。A可逆（这个很容易得到），所以B=C*A-1，R(B)<=R(c),所以R(B)=R(c),即R(B*a1,B*a2,..,B*aN）=R(B），所以取决于B。。追问

接下来对B的分析结果如何？

追答

对B进行初等行变换，化成阶梯形矩阵，数(shu)非零行的个数就行了。,非零行的个数=B 的秩=B*a1,B*a2,..,B*an的秩。若小于n线性先关，等于N 线性无关。
当然如果m<n,B的秩<=m<n,B*a1,B*a2,..,B*an肯定线性相关。

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Answer 2

不是的，举反例即可：
a1=[1 0]'
a2=[0 1]'
B=
1 1
1 1
于是
B*a1=
1
1
B*a2=
1
1
显然是线性相关的！

Answer 3

这不一定成立
试想, B是零矩阵时, Ba1,...,Ban必线性相关

如果a1,a2,.....,an线性相关，则 Ba1,Ba2,..,Ban线性相关