已知函数 f(x)=2^x-1/2^|x| (1)若f(x)=2,求x的值 (2)若2^t·f(2t)+mf(t)>=0 对于t属于[1,2]恒成立,求实...

Question

已知函数
f(x)=2^x-1/2^|x|
(1)若f(x)=2,求x的值
(2)若2^t·f(2t)+mf(t)>=0
对于t属于[1,2]恒成立,求实数m的取值范围

Answer 1

先将函数化简
当 x>0时 f(x)=2^x-(1/2)^(|x|)=2^x-(1/2)^x
当x<=0时 f(x)=2^x-(1/2)^(|x|)=0

(1)
f(x)=2
则 x>0 2^x-(1/2)^x=2
令 2^x=t 则(1/2)^x = 1/t 且 t>1
t-1/t=2 解得 t=1+根号2
所以 x=log(1+根号2) （对数以2为底)

(2)因为 t【1,2】
所以 f(t)=2^t-(1/2)^t
2^t *f(2t)+mf(t) = 2^(3t)-2^(-t)+m(2^t-(1/2)^t)
令 2^t=a
则 a^3-1/a+m(a-1/a) >= 0 对于任意的 2<=a<=4成立
a-1/a =(a+1)(a-1)/a >0
所以 不等式化为 m>= (1/a-a^3)/(a-1/a)
设 g(a)= (1/a-a^3)/(a-1/a) = -a^2-1
因为2<=a<=4
所以 -17<=g(a)<=-5
所以 m>=-5
就是所求的m的范围
【【不清楚，再问；满意， 请采纳！祝你好运开☆！！】】