第1个回答 2023-02-28
——习题课
题型一:与指数有关的复合函数的定义域和值域
1、 含指数函数的复合函数的定义域
(1) 由于指数函数y =a x (a >0, 且a ≠1)的定义域是R ,所以函数y =a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同.
(2) 对于函数y =f a x (a >0, 且a ≠1)的定义域,关键是找出t =a 的值域哪些部分y =f (t )的定义域中. x ()
2、 含指数函数的复合函数的定义域
(1) 在求形如y =a f (x )(a >0, 且a ≠1)的函数值域时,先求得f (x )的值域(即t =f (x )中t 的范围),再根
据y =a t 的单调性列出指数不等式,得出a 的范围,即y =a f (x )的值域. t
(2) 在求形如y =f a x ()(a >0, 且a ≠1)的函数值域时,易知a
x x >0(或根据y =f a x 对x 限定的更加具()体的范围列指数不等式,得出a 的具体范围),然后再t ∈(0, +∞)上,求y =f (t )的值域即可.
【例】求下列函数的定义域和值域.
(1)y =0. 4
1x -1; (2)y =3; (3)y =-a x .
题型二:利用指数函数的单调性解指数不等式
解题步骤:(1)利用指数函数的单调性解不等式,首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式.
(2)a f (x )>a g (x )⇔⎨⎧f (x )>g (x ), a >1 ⎩f (x )>g (x ), 0
2⎛1⎫【例】(1)解不等式 ⎪⎝2⎭
3x -1≤2; (2)已知a x -3x +10, a ≠1),求x 的取值范围.
题型三:指数函数的最值问题
解题思路:指数函数在定义域R 上是单调函数,因此在R 的某一闭区间子集上也是单调函数,因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值. 需要注意的是,当底数未知时,要对底数分情况讨论.
【例】函数f (x )=a x (a >0, a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大
a ,求a 的值. 2
题型四:与指数函数有关的单调性
1、研究形如y =a f (x )(a >0, 且a ≠1)的函数的单调性时,有如下结论:
(1)当a >1时,函数y =a f (x )的单调性与f (x )的单调性相同;
f (x )(2)当0
2、研究形如y =ϕa ()(a >0, 且a ≠1)的函数的单调性时,有如下结论: x
x (1)当a >1时,函数y =ϕa 的单调性与y =ϕ(t )的单调性相同;
x (2)当0
注意:做此类题时,一定要考虑复合函数的定义域.
【例】1. 已知a >0, 且a ≠1,讨论f (x )=a -x
2+3x +2的单调性.
2. 求下列函数的单调区间.
(1)y =a x
2+2x -3; (2)y =10. 2-1x
题型五:指数函数与函数奇偶性的综合应用
虽然指数函数不具有奇偶性,但一些指数型函数可能具有奇偶性,对于此类问题可利用定义进行判断或证明.
1+a 为奇函数,则a 的值为 . x 3+1
1(x ∈R )是奇函数,则实数a 的值为 . 2. 已知函数f (x )=a -1+2x
11+(a >0, a ≠1),判断函数f (x )的奇偶性. 3. 已知函数f (x )=x a -12【例】1. 已知函数f (x )=
题型六:图像变换的应用
1、平移变换:若已知y =a 的图像,
(1)把y =a 的图像向左平移b 个单位,则得到y =a
(2)把y =a 的图像向右平移b 个单位,则得到y =a
x x x x +b x 的图像; 的图像; x -b (3)把y =a 的图像向上平移b 个单位,可得到y =a +b 的图像;
(4)把y =a 的图像向下平移b 个单位,则得到y =a -b 的图像. x x x
2、对称变换:若已知y =a x 的图像,
(1)函数y =a x 的图像与y =a -x 的图像关于y 轴对称;
(2)函数y =a x 的图像与y =-a x 的图像关于x 轴对称;
(3)函数y =a x 的图像与y =-a -x 的图像关于坐标原点对称.
【例】1. 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数y =2x 的图像经过怎样的变换得到的.
x ①y =2x -1;②y =2x +1;③y =2;④y =2-;⑤y =-2x ;⑥y =-2-x x
2. 函数y =x +a 与y =a x (a >0, 且a ≠1)的图像可能是( )
A B C D
x 3. 若直线y =2a 与函数y =a -1+1(a >0, 且a ≠1)的图像有两个公共点,则a 的取值范围
是 .