线性代数特征向量问题求解

Question

如题所述

Answer 1

1. 由已知得：BT^(-1)=T^(-1)A，于是 b=T^(-1)a 是B的一个特征向量
2. r(AB)<= min {r(A)，r(B)} <= n<m，但 AB 是 m 阶方阵
于是|AB|=0，从而齐次线性方程组（AB)X=0必有非零解
补充的 1)暂时不会表示
2)利用定理：若m是A的特征值，则它的重数 >= n - r(A-mE)
从而利用0是A的单重特征值，则 1 >= n - r(A-0)=n-r(A)，于是r(A)>=n-1。①
又|A|=所有特征值的乘积=0(因为0是一个特征值，0乘任何数=0)，于是r(A)<n。②
从而由①②得 r(A)=n-1