石奇珠的任职经历如下：
1979年6月至1982年11月：在增城县朱村公社保卫组担任办事员。
1982年11月至1985年11月：晋升为增城县朱村派出所民警。
1985年11月至1987年9月：任增城县朱村派出所副所长。
1987年9月至1989年7月：进入广州市公安干部学院深造学习。
1989年7月至1992年6月：担任增城县朱村派出所所长。
1992年6月至1993年5月：成为增城县公安局治安股股长。
1993年5月至1994年5月：晋升为增城县（市）公安局治安大队大队长。
1994年5月至1995年12月：担任增城市公安局副局长。
1995年12月至1998年3月：任增城市公安局政委。
1998年3月至1999年11月：中共增城市委常委，政法委副书记，公安局党组书记和局长。
1999年11月至2000年6月：转任中共花都市委常委，政法委副书记，公安局党委书记和局长。
2000年6月至2002年12月：担任中共广州市花都区委常委，政法委副书记，同时兼任广州市公安局花都区分局局长和党委书记。
2002年12月至2003年2月：进一步提升为中共广州市花都区委副书记，区纪委书记，区委政法委副书记，公安局局长和党委书记。
2003年2月至2003年3月：继续担任广州市花都区委副书记，区纪委书记，区委政法委副书记，以及公安局党委书记。
2003年3月至2009年3月：专注于区纪委书记的职务。
2009年3月至2011年8月：成为中共广州市萝岗区委副书记，区长。
2011年8月：正式接任中共广州天河区委书记。
石奇珠在其职业生涯中，逐步晋升，从基层警务工作到地区领导职务，涉及治安、公安等多个领域，担任过多个关键职务。