fx=（x^2+x-a）e^（x/a）（a＞0） （1）当a=1时求函数单调区间 （2）当x=-5时，fx取得极值 ①若m=＞-5，

Question

fx=（x^2+x-a）e^（x/a）（a＞0）
（1）当a=1时求函数单调区间
（2）当x=-5时，fx取得极值
①若m=＞-5，求函数在[m，m+1]上的最小值
②求证：对任意x1，x2∈[-2，1]，都有|fx1-fx2|＜=2

Answer 1

因为f(x)=（x²+x-a）e^（x/a）（a＞0），
(1)当a=1时，f(x)=（x²+x-1）e^x
f '(x)=（2x+1）e^x+（x²+x-1）e^x
=（x²+3x）e^x
=x（x+3）e^x
因为 函数定义域为R， 且e^x＞0，
所以，当x＜ -3 或 x＞0 时，f '(x)＞0, f(x) 单调增；
当 -3 ＜x＜0 时，f '(x)＜0, f(x) 单调减，
即函数f(x)的增区间为 (-∞,-3)和(0，+∞)；减区间为(-3,0).
(2) f '(x)=（2x+1）e^（x/a）+（x²+x-a）·1/a· e^（x/a）
=（1/a x²+2x+1/a x）· e^（x/a）
由题意， f '(-5)=0，解得 a=2
所以 f(x)=（x²+x-2）e^（x/2）;
f '(x)=½（x²+5x）· e^（x/2）=½ x(x+5)· e^（x/2）……………﹡
① 由﹡知， f(x)在（-5,0）单调减，在（0，+∞）单调增，
当 m ≥-5 且m+1≤0 即 -5≤m≤-1时，f(x)最小值为 f(m+1)=（m²+3m）e^[(m+1)/2];
当 m≤0＜m+1 即 -1＜m≤0时，f(x)最小值为 f(0)= -2;
当 m＞0 ，f(x)最小值为 f(m)=（m²+m-2）e^（m/2）.
② 由﹡知，f(x)在[-2,0）单调减，在（0，1]单调增，
f(-2)=0, f(0)=-2, f(1)=0,
即 f(x)在[-2，1]最大值为0，最小值为-2，

所以，对任意x1，x2∈[-2，1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤0 -(-2)=2
即对任意x1，x2∈[-2，1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤2.