已知三位数abc，其平方数的末三位数也是abc。那么，满足这样条件的所有的三位数的和是多少？

Question

如题所述

Answer 1

【解】显然，这个三位数为
100a+10b+c

所以

(100a+10b+c)^2

=10000a^2+100b^2+c^2+2000ab+20bc+200ac

=10000a^2+2000ab+100(b^2+2ac)+20bc+c^2

由条件可知

c^2的个位和c,有1,5等2个数

用1代入,我们发现b=0(因为2bc的个位=b=>2b的个位=b,除b=0外没有其它数)

则a=0(因为(b^2+2ac)的个位=2a的个位=a,同上面推论)

a=0不合题意

c=5

所以

2bc的个位+2=20b的个位+2=b(加的2是由个位进来的)

b=2合题意

所以

(b^2+2ac)的个位+2=10a的个位+6=a(加的2是由十位进来的)

所以

a=6

故此三位数为625

验证:626^2=390625追问

好吧我承认我是个数学白痴。。。可以详细解释一下为什么能够判定c的值为1、5吗？还有2bc是从哪里来的？还有拜托讲解一下判定b、a值的过程。万分感谢

追答

更好的方法是设原数为N，则
N^2-N=N(N-1)=1000K
=8m *125n（m，n为正整数）
解下面2个方程组就可得到2个答案：
N=8m N=128n
N-1=125n N-1=8m
答案是N=376或625

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