初二几何证明题

Question

已知：点P为正方形ABCD内一点，且PA = PB ∠APB = 150° 求证：△PCD是等边三角形。

Answer 1

已知：点P为正方形ABCD内一点，且PA = PB ∠APB = 150°求证：△PCD是等边三角形。证明：因为PA=PB=>∠PAB=∠PBA=>∠PAD=∠PBC 在⊿PAD与⊿PBC中，PA=PB，∠PAD=∠PBC，AD=BC 所以 ⊿PAD≌⊿PBC (边角边) 所以PD=PC 所以⊿PCD是等腰三解形 （1）过点P作直线EF‖AD交AB于E，交DC于F 所以 EF⊥AB于E,EF⊥DC于F=>BE=DF=1/2AB又因为PA=PB，∠APB = 150°, EF⊥AB于E 所以∠PBE=15°,BE=1/2ABtan15°=PE/BE=>PE=1/2AB* tan15°=>PF=EF-BE=AB-1/2AB* tan15°(AB=AD=EF)又因为tan∠PDF=PF/DF=[ AB-1/2AB* tan15°]/(1/2AB)=2- tan15° （2）又因为由半角公式tan(a/2)=√[sina/(1+cosa)]得tan15°=√sin30°/[1+cos30°]=2-√3 代入（2）得2- tan15°=2-（2-√3）=√3，即tan∠PDF=√3=>∠PDF=60° (3)由（1）（3）得△PCD是等边三角形 (证毕) 打字手都累了，希望采纳

Answer 2

证明：因为PA = PB ∠APB = 150°，所以∠ABP =15°，tan15°=2-根号3PA = PB ，可知，P在AB的中垂线上，所以，PC=PD设P到AB的距离为X，到CD的距离为Y，AB=2，则X+Y=2X=2-根号3，所以，Y=根号3，所以，∠PCD=60°所以，为等边三角形

Answer 3

用同一法证取AB中点M，CD中点N，连接MN，显然P在MN上在MN上去点R，使CDR为等边三角形则角ADR和BCR都等于30度ADR，BCR为等腰三角形角DAR，CBR都等于75度角RAB，RBA等于15度角ARB=150度=角APB当P在MN上从M移到N过程中角APB单调递减只有在R处满足APB=150度所以P，R两点重合△PCD是等边三角形 或者可以用三角求得DP=CP=AD