已知x,y,z是正实数,且x+4y+z=2,则 1/(x+y) + 2(x+y)/(3y+z) 的最小值为多少

Question

如题所述

Answer 1

设a=x+y，b=3y+z，t=1/a，因x、y、z是正实数，故a、b、t是正实数，且a+b=x+4y+z=2，b=2-a＞0，又a＞0，则0＜a＜2，t＞0.5
原式=1/(x+y)+2(x+y)/(3y+z)=1/a+2a/b=1/a+2a/（2-a）=t+2/(2t-1)=(t-0.5)+1/(t-0.5)+0.5≥2.5，当且仅当t-0.5=1，即t=1.5时等号成立，故原式最小值为2.5，此时t=1.5，a=1/t=2/3，b=2-a=4/3，x+y=2/3，3y+z=4/3

Answer 2

令 x+y = a 3y+z=b 则 a+b=2
1/(x+y) + 2(x+y)/(3y+z) =1/a + 2a/b 当a=b=1时 最小 为 3

Answer 3

答案是2.5