微积分题目。求详细解答

如题所述

第1个回答 2013-04-27

1.令x=sint
原式=∫(0→π/2)sin^2(t)*cost*costdt
=∫(0→π/2)(1-cos(2t))/2*(1+cos(2t))/2dt
=1/4∫(0→π/2)(1-cos^2(2t))dt
=1/4∫(0→π/2)(1-(1+cos(4t))/2)dt
=1/4∫(0→π/2)(1-cos(4t))/2dt
=1/8∫(0→π/2)dt-1/8∫(0→π/2)cos(4t)dt
=t/8|(0→π/2)-sin(4t)/32|(0→π/2)
=π/16-1/32
2.因为(√((1-x)/(1+x)))'=1/2*√((1+x)/(1-x))*(-(1+x)-(1-x))/(1+x)^2=-1/[(1+x)√(1-x^2)]
所以原式=-∫(0→1)e^(√((1-x)/(1+x)))d(√((1-x)/(1+x)))
=-e^(√((1-x)/(1+x)))|(0→1)
=-e^0+e^1
=e-1

第2个回答 2013-04-27

解:
1.设x=sint,t=arcsinx,1-x^2=cos^2t,dx=costdt
原式=∫[0,π/2](sint)^2(cost)^2dt
=∫[0,π/2](1/4)(sin2t)^2dt
=1/8∫[0,π/2](1-cos4t)dt
=1/8(∫[0,π/2]dt-1/4∫[0,π/2]cos4td4t)
=1/8(π/2-0)
=π/16
2.
原式=∫[0,1](1/(1+x)^2)dx
=∫[0,1](1/(1+x)^2)d(1+x)
=-(1+x)^(-1)|[0,1]
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