已知函数f(x)=x^3-ax-1.若a<=0,请用定义证明函数f(x)在R上单调递增

Question

(2)是否存在实数a,使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）
f(x) = x³-ax-1
其导数为
f′(x) = 3x²-a
因为a<= 0 所以3x²-a >= 0
当a<0时， 3x²-a >0
即 f′(x) > 0, 函数f(x)在R上单调递增
只当a=0 时,若3x²-a = 0，得x = 0， x = 0是f(x)的一个驻点
当x<0时 f′(x) >0 ，x>0时 f′(x) >0 ，
可知 函数f(x)在R上单调递增
（2）
若f(x)在（-1,1）上单调递减

则 f′(x) = 3x²-a < 0
a > 3x²
3x²在（-1,1）上最大值为3
所以当 a > 3时，f(x)在（-1,1）上单调递减