在初四数学伴你学p127第25题 在平面直角坐标系中，已知点A坐标（2,4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，

Question

抛物线y=X2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动。（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M横坐标为m，①用含m的代数式表示点P的坐标；②当m为何时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，∵A（2，4），∴2k=4，∴k=2，∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．（2分）（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，∴y=2m（0≤m≤2）∴顶点M的坐标为（m，2m）∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．（2分）②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，又∵0≤m≤2，∴当m=1时，PB最短．此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2．（2分）（3）由（2）②知：P（2，3），M（1，2）；则PM= 2；①PM=PN= 2，则N1（2，3+ 2），N2（2，3- 2）；②PM=MN，根据等腰三角形三线合一的性质知：N3（2，1）；③PN=PM，此时∠PMN4=∠N4PM=∠PM3M，则：△PMN4∽△PN3M，得：PM2=PN4�6�1PN3，即：PN4=PM2÷PN3=1，故N4（2，1）；综上可知：符合要求的点N的坐标为：N1（2，3+ 2）；N2（2，3- 2）；N3（2，1）；N4（2，1）．（4分）（4）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2，①过P作直线L∥OA，设直线L：y=2x+h，则有：4+h=3，h=-1；∴直线L：y=2x-1，联立抛物线的解析式有： {y=2x-1y=(x-1)2+2，解得 {x=2y=3；此时抛物线与直线L只有一个交点为P（2，3），故此种情况不成立；②在点A的上方截取AD=AP，即D（2，5）；过D作直线L′∥OA，设直线L′：y=2x+h′，则有：4+h′=5，h′=1；∴直线L′：y=2x+1，联立抛物线的解析式有： {y=2x+1y=(x-1)2+2，解得 {x=2+2y=5+22， {x=2-2y=5-22；抛物线上存在点Q1（2+ 2，5+2 2），Q2（2- 2，5-2 2），使△QMA与△PMA的面积相等．（2分）