第1个回答 2013-06-27
（一）求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；
2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f〔g（x）〕的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
4、对复合函数y＝f〔g（x）〕的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；（四）求函数的最值
1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；
3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】
考点一：求函数解析式
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1.已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。
解：由4x2－9y2＝36可解得：
。
说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。
例2.已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
解：设，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为。3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例3.已知，试求。
解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。故得：。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例4.（1）已知，试求；
（2）已知，试求；
解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。
（2）由条件式，以－x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。
例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
解：由题意知：当x∈〔0，1〕时：y＝x；
当x∈（1，2）时：；
当x∈（2，3）时：；
故综上所述，有考点二：求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
例6.求的定义域。
解：由题意知：，从而解得：x－2且x≠±4.故所求定义域为：
{x|x－2且x≠±4}。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。
例7.已知函数由下表给出，求其定义域
X
1
2
3
4
5
6
Y
22
3
14
35
－6
17
解：{1，2，3，4，5，6}。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。
解：
又由于x2－4x＋30**
联立*、**两式可解得：例9.若函数f（2x）的定义域是〔－1，1〕，求f（log2x）的定义域。
解：由f（2x）的定义域是〔－1，1〕可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为〔2－1，2〕，故log2x∈〔2－1，2〕，解得，故定义域为。4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。
例10.求函数的定义域。
解：若，则x∈R；
若，则；
若，则；
故所求函数的定义域：
当时为R，当时为，当时为。
说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。考点三：求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、分离变量法
例11.求函数的值域。
解：，因为，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。
说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法
例12.求函数y＝2x2＋4x的值域。
解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。
说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。3、判别式法
例13.求函数的值域。
解：可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：。
说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。4、单调性法
例14.求函数，x∈〔4，5〕的值域。
解：由于函数为增函数，故当x＝4时，ymin＝；当x＝5时，ymax＝，所以函数的值域为。5、换元法
例15.求函数的值域。
解：令，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。
例16.求函数的值域。
解：当x∈〔1，2〕时，y∈〔1，2〕；当x∈2，3〕时，y∈4，9〕；当x∈3，4〕时，y∈5，7〕。综上所述，y∈〔1，2〕∪3，9〕。〔本讲所涉及的主要数学思想方法〕
1、分类讨论的数学思想：对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解，一般情况下都要对参变量进行分类讨论，在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。
2、换元的思想：对复合函数定义域、值域及最值的求解，以及对某些无理函数（根号中含有自变量的函数）的处理，通常可以考虑换元，以达到化繁为简的目的。
3、方程的思想：对某些函数解析式的求解，以及某些函数值的求解，均渗透了方程的思想，主要思路是改变原来的变量之间的角色，重新确定主元，依此主元构造方程进行求解。【模拟试题】
一.选择题
1、函数y＝f（x）的值域是〔－2，2〕，则函数y＝f（x＋1）的值域是（）
A.〔－1，3〕B.〔－3，1〕C.〔－2，2〕D.〔－1，1〕
2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间〔－2，2〕上的最大值为（）
A.2B.4C.6D.8
3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是（）
A.y＝20－2x（x≤10）B.y＝20－2x（x10）
C.y＝20－2x（4≤x10）D.y＝20－2x（5x10）
4、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为〔a，b〕（ab），值域也是〔a，b〕，则区间〔a，b〕是（）
A.〔0，4〕B.〔1，4〕C.〔1，3〕D.〔3，4〕
5、函数y＝f（x＋2）的定义域是〔3，4〕，则函数y＝f（x＋5）的定义域是（）
A.〔0，1〕B.〔3，4〕C.〔5，6〕D.〔6，7〕
6、函数的值域是（）
7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（）二.填空题
8、若f（x）＝（x＋a）3对任意x∈R都有f（1＋x）＝－f（1－x），则f（2）＋f（－2）＝；
9、若函数的值域为，则其定义域为；三.解答题
10、求函数的定义域。
11、已知，若f（a）＝3，求a的值。
12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。
13、某人买来120m竹篱笆，想靠墙围成一个矩形养鸡场，一边靠墙，三边用竹篱笆。设鸡场的面积为y，与墙连接一边的长为x。
（1）将y表示成x的函数；
（2）与墙连接的一边多长时，鸡场的面积最大？