矩阵在计算机科学和线性代数中扮演重要的角色，其中涉及到矩阵的逆、矩阵可逆以及行列式等概念，这些概念都有着非常重要的理论和实际应用意义。我们知道，矩阵可逆当且仅当其行列式非零，那么一个更深入的问题是: 什么是一个 n 阶矩阵可逆的充要条件呢？接下来，我们将深入探究这个话题。
在此之前，我们需要了解一些基本概念。对于一个 n 阶方阵 A，如果存在另外一个 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = In，其中 In 为单位矩阵，那么我们称矩阵 A 为可逆矩阵，B 称为 A 的逆矩阵或反矩阵。
【充分性证明】：如果一个 n 阶矩阵可逆，那么它的行列式不为零。
对于一个 n 阶矩阵 A，如果它的行列式不为零，那么我们称之为满秩矩阵。通过伴随矩阵的定义我们可以知道: 若 A 为满秩矩阵，则其伴随矩阵 adj(A) 的每个元素都可以表示为 A 的代数余子式所构成的矩阵中对应元素的代数和，即:
adj(A)=[A11 A21 ... An1; A12 A22 ... An2; ... ; A1n A2n ... Ann]^T
其中，Aij 是 A 的代数余子式，T表示矩阵的转置。
我们假设矩阵 A 是可逆的，即存在其逆矩阵 B，使得 AB = BA = In，那么我们有:
det(AB) = det(A)·det(B) = det(B)·det(A) = det(BA) = det(In) = 1
因此，由于 det(A) ≠ 0，我们可以得到det(B) ≠ 0，也就是说矩阵 B 存在，B 的每一行是 A 的代数余子式系数除以 det(A)，所以 B 的行列式也必须等于 det(A) 的逆元。因此，B 存在且 det(B) ≠ 0，所以 A 是可逆矩阵。因此，充分性得证。
【必要性证明】：如果一个 n 阶矩阵的行列式不为零，那么它是一个可逆矩阵。
对于一个 n 阶矩阵 A，如果它的行列式不为零，那么我们称之为满秩矩阵。根据定义，我们可以知道，其中的元素是线性无关的，即各行（列）线性独立。那么我们可以将 A 整理为初等矩阵的乘积，即:
E1E2⋯EkA = In
由于初等矩阵是可逆的，因此 A 也是可逆的，且它的逆矩阵为
A^-1 = E1^-1E2^-1⋯Ek^-1In
因此，必要性也得到证明了。