|a(n+1)/an|=1/r
=|[(n+1)!/(n+1)∧(n+1)]/[n!/nⁿ]|
=|(n+1)*nⁿ/[(n+1)∧n*(n+1)]|
=|nⁿ/[(n+1)∧n]|
=|[n/(n+1)]ⁿ|
=|1/[(n+1)/n]ⁿ|
∵lim[(n+1)/n]ⁿ
=lim[(1+1/n)ⁿ] (n->∞)
=e
∴ |a(n+1)/an|=1/r
=1/e < 1 (n->∞)
∴收敛半径r=e
当x=e时,对于原级数
|f(e, n+1)/f(e, n)|
=|[(n+1)!*e∧(n+1)/(n+1)∧(n+1)]/[n!*eⁿ/nⁿ]|
=|(n+1)*e*nⁿ/[(n+1)∧n*(n+1)]|
=e|nⁿ/[(n+1)∧n]|
=e|[n/(n+1)]ⁿ|
=e|1/[(n+1)/n]ⁿ|
=e*1/e (n->∞)
=1
∴x=e时,原级数发散
又x≥0,∴收敛域为[0,e)
即0≤x<e时,原级数收敛
x≥e时,原级数发散
追问当x=e时,用比值审敛法得结果为1,所以比值审敛法失效
所以x=e的这部分证明的不对
大神,有两个问题请教你下哈:1.①和③的不等式,是根据什么推导出来的哦? 2.②处的式子,an>e为什么就可以推出发散哦?