如何理解函数图像上点m的纵坐标增量？

Question

如题所述

Answer 1

将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x。

则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱。

该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x。

该圆环柱的高为f(x)。

所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

几何意义

设Δx是曲线y = f(x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。