函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^-x

Question

在（-oo,-1）,（1,+oo）上单调递减，在（-1,1）上点掉递增，求b+c= ?

Answer 1

f(x)=(2ax+b)*e^(-x)-(ax^2+bx+c)e^(-x)
=e^(-x)[-ax^2+(2a-b)x+(b-c)]
e^(-x)>0
所以f'(x)符号和-ax^2+(2a-b)x+(b-c)一样
由
单调性
x<-1,x>1,-ax^2+(2a-b)x+(b-c)<0
-1<x<1,-ax^2+(2a-b)x+(b-c)>0
所以-ax^2+(2a-b)x+(b-c)开口向下
-a<0
a>0
且-1和1是方程-ax^2+(2a-b)x+(b-c)=0的根
所以-1+1=0=(2a-b)/a
b=2a
-1*1=-1=(b+c)/(-a)
b+c=a
显然求不出b+c的具体值

Answer 2

F(X)=(ax^2+bx+c)/e^x
f'(x)=[(2ax+b)e^x-(ax^2+bx+c)e^x]/e^(2x)
=[-ax^2+(2a-b)x+(b-c)]/e^x.
根据题意有，函数在x=1和x=-1处改变单调性，所以x=-1，x=1是f'(x)=0的两个根。
当f'(x)=0时候，即有：
-ax^2+(2a-b)x+b-c=0
所以，由韦达定理可得到：
x1+x2=0=(2a-b)/a;
x1*x2=-1=(b-c)/(-a).
所以：
2a-b=0,b-c=a.进一步得到：b=2c.