设a=(1+cosα ,sinα ),b=(1-cos β,sin β )

Question

如题所述

Answer 1

是求sin[(α-β)/2]吧,若不是,我昨晚算了一晚都没算出来
解一下:(向量我用大写字母表示)设向量的起点都在原点
因为a∈（0，π），β∈(π，2π）
所以sina>0,sinβ<0,又1+cosα>0,1-cosβ>0,所以向量a在第一象限,向量b在第四象限
所以tanθ1=sinα/(1+cosα)
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{1+[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{2[cos(α/2)]^2}
=sin(α/2)/cos(α/2)
=tan(α/2)
tan(θ2)=-sinβ/(1-cosβ)
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{1-[cos(β/2)]^2+[sin(β/2)]^2}
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{2[sin(β/2)]^2}
=-cos(β/2)/sin(β/2)
=-cot(β/2)
又θ1-θ2=π/6,所以有tan(θ1-θ2)=tanπ/6=(√3)/3
而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)
={tan(α/2)-[-cot(β/2)]}/[1-tan(α/2)cot(β/2)]
=[sin(α/2)sin(β/2)+cos(β/2)cos(α/2)]/[sin(β/2)cos(α/2)-sin(α/2)cos(β/2)]
=cos[(α-β)/2]/sin[(β-α)/2]
=-cot[(α-β)/2]
所以cot[(α-β)/2]=-(√3)/3
cos[(α-β)/2]=-(√3)/3sin[(α-β)/2]
代入{cos[(α-β)/2]}^2+{sin[(α-β)/2]}^2=1
得:(4/3){sin[(α-β)/2]}^2=1
再由a∈（0，π），β∈(π，2π）得(α-β)/2∈(-π,0),所以sin[(α-β)/2]<0
于是sin[(α-β)/2]=-(√3)/2

Answer 2

α∈(0,π),β∈(π，2π),向量c=(1,0)，向量a与向量c夹角为θ1，向量b、向量c夹角为θ2，且θ1-θ2=π/6，求sin[(α-β)/4]的值。
先用向量夹角公式：
cosθ1=(1+cosα)/√[(1+cosα)^2+{sinα}^2]=
(1+cosα)/√(2+2cosα)
∵cosα+1>0
∴cosθ1=√[(1+cosα)/2]=|cosα/2|
∵α∈(0,π)，θ1(0,π)
∴cosθ1=cosα/2
θ1=α/2
同样的推导（这里答题时候是要写的，我就不写了），得到θ2=β/2
∴cos[(α-β)/2]=
cos(θ1-θ2)=√3/2
∵α∈(0,π),β∈(π，2π)，α-β∈(-2π,0)，(α-β)/4(-π/2,0)
∴sin[(α-β)/4]<0
∴sin[(α-β)/4]=
-√{[1-cos^2(α-β)/2]/哗顶糕雇蕹概革谁宫京;2}=
-1/2√2