当n=2时，不等式左端=ln2/2^2，不等式右端=5/12 ，ln2/2^2＜5/12，不等式成立；假设当n=k(k≥2为正整数)时不等式成立，即ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＜(2k^2-k-1)/[4(k＋1)]成立，在此不等式两端同时加ln(k＋1)/(k＋1)^2得ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＋ln(k＋1)/(k＋1)^2＜(2k^2-k-1)/(4k＋4)＋ln(k＋1)/(k＋1)^2①，容易证明ln(k＋1)＜k＋1，所以①式变为ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＋ln(k＋1)/(k＋1)^2＜(2k^2-k-1)/(4k＋4)＋(k＋1)/(k＋1)^2=(2k^2-k＋3)/(4k＋4)②，容易证明(2k^2-k＋3)/(4k＋4)＜[2(k＋1)^2-(k＋1)-1]/4[(k＋1)＋1]③，该不等式可化简得3＜k(k＋1)④，由于k≥2，所以④成立，进而③成立，所以②式变为ln2/2^2＋ln3/3^2＋...＋lnk/k^2＋ln(k＋1)/(k＋1)^2＜[2(k＋1)^2-(k＋1)-1]/4[(k＋1)＋1]，即当n=k＋1时，不等式也成立；所以对所有n≥2的正整数，原不等式均成立。
证：
令p=1
则f(x)=x-1/x-2lnx，求导得：
f′(x)=1/x^2-2/x+1=[(1/x)-1]^2≥0且f′(x)=0不恒成立，
因此，函数f(x)=x-1/x-2lnx为定义域上的单调递增函数；
∴当x>1时，lnx<[x-(1/x)]/2
lnn<[n-(1/n)]/2
∴lnn/n^2<(1/2)*[[n-(1/n)]/n^2<1/2
所以ln2/2^2+ln3/3^2+……lnn/n^2<n/2
ln(n)/n^4 = ln(n)/n^2*1/n^2 < ln(n)/n^2*(1/(n(n-1))
= ln(n)/n^2(1/(n-1)-1/n)<1/(2e)(1/(n-1)-1/n)
因此：ln2/(2^4) + ln3/(3^4) +...+lnn/(n^4)<1/(2e)(1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n) = 1/(2e)(1-1/n)<1/(2e)<1/e;
因此本题的更强的不等式是 <1/(2e)
我还是将原题的前因后果给你写一下吧，原理的第二问证明了ln(x)/x^2<1/2e;
设f(x) = 2elnx -x^2; f'(x) = 2e/x -2x; 录x =sqrt(e)时，f'(x) =0 ,即f(sqrt(e)) =0取得最大值， 因此2elnx<x^2;
或者: lnx/x^2<1/(2e);
因此ln(n)/n^2<1/(2e);
下面证本题的命题：
ln(n)/n^4 = ln(n)/n^2*1/n^2<ln(n)/n^2*(1/(n(n-1))
= ln(n)/n^2(1/(n-1)-1/n)<1/(2e)(1/(n-1)-1/n)
因此：ln2/(2^4) + ln3/(3^4) +...+lnn/(n^4)<1/(2e)(1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n) = 1/(2e)(1-1/n)<1/(2e)<1/e;
因此本题的更强的不等式是<1/(2e)
这个题目可以采取一定的不等式放缩的技巧来证明 做题前可以观察一下ln函数的变化规律 还需要一定的数学经验的积累
ln2/2!+ln3/3!=0.529<2/3
而
ln4/4!+ln5/5!+.....+lnn/n!<1/(3*4)+1/(4*5)+1/(5*6)....=1/3-1/4+1/4-1/5.....<1/3 故其和小于1
至于lnm/m!<1/(m-1)m
它等价于 lnm<(m-2)(m-3)(m-4)....这个命题更弱于 lnm<(m-2)这个很容易证明 m>3
所以最后命题得证
这个就是等比数列的求和公式啊
a1=1
q=-2
an=(-2)^(n-1)
Sn=[1-(-2)^]/[1-(-2)]=1/3-(-2)^n/3
数学归纳法证明如下：
1.n=1时，左边=1
右边=2/3+1/3=1=左边
2.假设n=k时，1-2+4-8+...+(-1)^k-1*2^k-1=(-1)^k-1*2^k/3+1/3
那么n=k+1时，
左边=1-2+4-8+...+(-1)^k-1*2^k-1+(-2)^k
=(-1)^(k-1)*2^k/3+1/3+(-1)^k*2^k
=(-1)^k*2^k*(3-1)/3+1/3
=(-1)^k*2^(k+1)/3+1/3
=右边
所以n=k+1时也成立
这个就是等比数列的求和公式啊
a1=1
q=-2
an=(-2)^(n-1)
Sn=[1-(-2)^]/[1-(-2)]=1/3-(-2)^n/3
数学归纳法证明如下：
1.n=1时，左边=1
右边=2/3+1/3=1=左边
2.假设n=k时，1-2+4-8+...+(-1)^n-1*2^k-1=(-1)^k-1*2^k/3+1/3
那么n=k+1时，
左边=1-2+4-8+...+(-1)^n-1*2^k-1+(-2)^k
=(-1)^(k-1)*2^k/3+1/3+(-1)^k*2^k
=(-1)^k*2^k*(3-1)/3+1/3
=(-1)^k*2^(k+1)/3+1/3
=右边
所以n=k+1时也成立
证：
先证明当n≥2，n∈Z时，n＞lnn
构造函数f(x)=x-ln(x+1)，x＞1
则f '(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
因为x＞1
所以f '(x)＞0
所以f(x)＞f(1)=1-ln(1+1)＞0
所以当n≥2，n∈Z时，n＞ln(n+1)
所以ln2/2＜ln2/ln3
ln3/3＜ln3/ln4
ln4/4＜ln4/ln5
…………
ln(n-1)/(n-1)＜ln(n-1)/(lnn)
故(ln2/2)×(ln3/3)×(ln4/4)×…×(lnn/n)
＜ln2/ln3×ln3/ln4×ln4/ln5×…×ln(n-1)/lnn×lnn/n
=ln2/n
＜1/n
证毕。
证明：取p=1
f(x)=lnx-x+1,x>=1
f'(x)=(1-x)/x<0,x>1
则f(x)在x>1上单调递减，又f(x)可在x=1处连续则
f(x)<f(1)=0,x>1,lnx-x+1<0,x>1
即lnx<x-1,x>1
我们取n²(>1)替换上式x有
lnn²<n²-1,则
[lnn²]/n²<(n²-1)/n²=1-1/n²<1-1/[n(n+1)]=1-[(1/n)-1/(n+1)]
得到[lnn²]/n²<1-[(1/n)-1/(n+1)]......(*)
将（*）中的n依次从2取到n累加有
[ln2²]/2²+[ln3²]/3²+...+[lnn²]/n²<(n-1)-{[1/2-1/3]+[1/3-1/4]+...+[1/n-1/(n+1)]=(n-1)-[1/2-1/(n+1)]
=(2n²-n-1)/[2(n+1)]
即[ln2²]/2²+[ln3²]/3²+...+[lnn²]/n²<(2n²-n-1)/[2(n+1)],n∈N+,n≥2命题得证。
可以用归纳法证明n>=10时
1/(2x3)+1/(4x5)+...+1/(2n(2n+1)) < 1/3-1/(2n+2)