导数在中学数学教学中应用都有哪些?

Question

如题所述

Answer 1

1.导数在函数问题中的应用
利用导数分析函数的性态是一种重要手段。在分析函数的图象、判断函数的单调性、求解函数的最值等方面，利用导数可使复杂问题简单化、程序化。
1.
1
分析函数的图象
例1
函数
在定义域内可导，导函数
的图象如图1所示，则函数
的图象可能为（
）
图1
A
B
C
D
分析：当
时，函数
在对应的每一个解集的区间内均为减函数，当
时，函数
在对应的每一个解集的区间内均为增函数，由导数
的图象可得函数
的单调性应为减增、减增趋势，故选B。
1.2
求参数的值
例2
已知函数
在区间[-1，1]上是增函数，求实数a的取值所组成的集合A。
解
：
又
在[-1，1]上是增函数
对
恒成立，即
对
恒成立。
设
，那么问题就等价于
即
故
所以
A=
.
例3
函数
过曲线
上的点p（1,
f（1））的切
线方程为
，若函数
在区间[－2，1]上单调递增，求b的取值范围。
解：
由
求导可得
过
上p（1,
f（1））的切线方程为：
即
，而过
上p（1,
f（1））的切线方程为
。
故有3+2a+b=3
即2a+b=0
又
在区间[－2，1]上单调递增，
在区间[－2，1]上恒有
，即
在
[－2，1]上恒成立。
（1）
当
时，
，所以
；
（2）
当
时，
，
所以
（3）
当
时，
，则
综合上述讨论可知，所求参数b的取值范围是：