怎么用差分方程求出斐波那契数列的通项公式，就是1.1.2.3.5.8那个数列

Question

如题所述

Answer 1

斐波那契数列数列的规律是
A(n+1)=An+A(n-1)
我们希望能把它凑成一个等比数列的情况，即
A(n+1)-aAn=b(An-aA(n-1))
得到这个式子后就可以得出A(n+1)-aAn是等比数列
将这个式子展开
A(n+1)=(a+b)An-abA(n-1)
既有a+b=1，ab=-1，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到ab是方程x^2-x-1=0的根
所以a=(1+sqrt(5))/2,b=(1-sqrt(5))/2或者b=(1+sqrt(5))/2,a=(1-sqrt(5))/2
因为ab在方程中没有任何差别，所以他们的值可以互换，也就是存在两种情况
第一种情况
A(n+1)-(1+sqrt(5))/2An=(1-sqrt(5))/2*(An-(1+sqrt(5))/2A(n-1))
得到A(n+1)-(1+sqrt(5))/2An=((1-sqrt(5))/2)^n*(A1-(1+sqrt(5))/2*A0)……第一个式子
第二种情况
A(n+1)-(1-sqrt(5))/2An=(1+sqrt(5))/2*(An-(1-sqrt(5))/2A(n-1))
得到A(n+1)-(1-sqrt(5))/2An=((1+sqrt(5))/2)^n*(A1-(1-sqrt(5))/2*A0)……第二个式子
第一个式子减第二个式子，把A(n+1)抵消了
得到-(1+sqrt(5))/2An+(1-sqrt(5))/2An=((1-sqrt(5))/2)^n*(A1-(1+sqrt(5))/2*A0)-((1+sqrt(5))/2)^n*(A1-(1-sqrt(5))/2*A0)
-sqrt(5)An=((1-sqrt(5))/2)^n*(1-(1+sqrt(5))/2)-((1+sqrt(5))/2)^n*(1-(1-sqrt(5))/2)
-sqrt(5)An=((1-sqrt(5))/2)^(n+1)-((1+sqrt(5))/2)^(n+1)
所以An=[((1+sqrt(5))/2)^(n+1)-((1-sqrt(5))/2)^(n+1)]/sqrt(5)本回答被网友采纳