证明lim(x→0)cosx=1时,
得到lim(x→0)(1-cosx)=0,
为什么lim(x→0)cosx=1?
如果要用
lim(x→0)(1-cosx)=lim(x→0)1-lim(x→0)cosx
那么前提应该是
lim(x→0)1与lim(x→0)cosx极限均存在,
但是这里不就是在证
lim(x→0)cosx存在且等于1吗?
有一点疑惑:1-cosx=0+α,只能得cosx=1-α,必须要有:若x→0,f(x)极限为A,那么f(x)=A-α,α为无穷小,才有lim(x→0)cosx=1,但书上没有这个定理,不过证明倒很容易。
就是从倒数第四行到倒数第三行这一步没懂。
追答是不是书上没有证明cosx的极限存在导致你不理解了,,其实cosx这个函数很简单 是个连续函数 不用再证明了
而且这个书上已经用夹逼准则证出来是1了 当然就存在了
追问书到这里并没有讲到连续性,自然不能用;
另外这里很明确就是在证明lim(x→0)cosx=1,
我不是不会证明,很容易通过ε-δ证明,我只是不理解这里的推导过程而已;
你说夹逼出来是1,可这里夹出来的是1-cosx的极限存在且为0,并没有对cosx进行夹逼。
其实很简单:
∵lim(x→0)(1-cosx)=0,且lim(x→0)1=1,
∴lim(x→0)cosx=lim(x→0)[1-(1-cosx)]=lim(x→0)1-lim(x→0)(1-cosx)=1,证毕。
嗯 你讲的对。