亚纯函数在某点的阶（order）

Question

如题所述

Answer 1

亚纯函数在某点的阶数决定了其洛朗级数的非零项特征。具体来说，如果f在点p亚纯，其阶数定义为洛朗级数中最小次非零项的次数。根据定理，f在点p的阶数与函数性质紧密相关：全纯函数在零点处的阶数为1，在极点处为-1；非零点和非极点处的阶数为0。在紧致黎曼面上，亚纯函数的零点和极点阶数之和为0。

对于黎曼面上的函数，如调和函数，其实部和虚部都满足Cauchy-Riemann方程。若h在点p附近是调和函数，其在不同坐标卡上的调和性等价。在复平面上，亚纯函数的重要性质包括零点和极点的有限性，以及最大模定理，它表明存在最大模的亚纯函数是常函数。

黎曼球面上，有理函数的特殊性在于，它们要么是常函数，要么有有限多个零点和极点。亚纯函数与有理函数之间存在一一对应关系，这由黎曼球面的特殊性质和定理所保证。推论显示，黎曼球面上所有点的亚纯函数阶数之和为0，且极点和零点的个数相同。

以上结论主要来源于Rick Miranda的《代数曲线与黎曼表面》。