求微分方程有没有简便的方法的大神们

Question

求微分方程有没有简便的方法的大神们如题就像这题有没有比较简单的方法

Answer 1

求微分方程 y''-5y'+6y=xe^(2x)的通解
解：齐次方程 y''-5y'+6y=0的特征方程 r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0的根r₁=2，r₂=3；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x);
设其特解为：y*=(ax²+bx)e^(2x);
则y*'=(2ax+b)e^(2x)+2(ax²+bx)e^(2x)=[2ax²+2(a+b)x+b]e^(2x);
y*''=[4ax+2(a+b)]e^(2x)+2[2ax²+2(a+b)x+b]e^(2x)=[4ax²+4(2a+b)x+2(a+2b)]e^(2x);
代入原式，并消去e^(2x)得：
[4ax²+4(2a+b)x+2(a+2b)]-5[2ax²+2(a+b)x+b]+6(ax²+bx)=-2ax+2a-b=x;
故-2a=1，a=-1/2........①；2a-b=0........②；①②联立求解得a=-1/2；b=-1;
故特解为：y*=[-(1/2)x²-x]e^(2x);
故通解为：y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x)[-(1/2)x²-x]e^(2x);

Answer 2

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