问个关于自然数e和极限的数学问题

Question

我是一名高三学生，最近总是遇见数列放缩的问题，有个比较常见的就是（1+1/an)^n 这个数列 题目是让它小于一个常数 答案的方法是用二项式定理展开然后用等比数列前n项和来放缩，但做了几道类似的题目，我发现这个数列应该有极限 就像n→∞lim（1+1/n)^n =e 于是我用计算器取了很多很大的n值(1+1/an)^n 发现n→∞lim（1+1/an)^n=a√e (a是正整数，由于不会打符号，这里的意思是e开a次方） 然后我先试着证明，证了半天也没头绪，最后就百度了但也没找到类似的答案 都说这是高数的问题 我仅仅是用计算器算猜想的这个结论 不知道正确不现在对自然数e这个问题很感兴趣 希望高人来解答（先说说这个结论正确不，最好能给出证明！） 谢谢！

Answer 1

其实这时大学的知识，首先要注意公式：n→∞lim（1+1/n)^n
=e
，把n看作一个未知数，用an去换n就可以了，具体推导为：因为n→∞,所以an→∞，所以由lim（n→∞）（1+1/n）^n=e得：lim（n→∞)（1+1/an）^an=e左右两边同时开a次方可得：n→∞lim（1+1/an)^n=a√e当然这里面还要涉及等价无穷大的概念，都是大学的知识。公式不好打，见谅。