椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点为F离心率为根号2/2,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为根号2

Question

（1.求椭圆方程（2.过点P(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,当三角形AOB面积最大时，求IABI的值

Answer 1

F(-c,0), c/a = 1/根号（2）

x^2 / a^2 + y^2 / (a^2 - c^2) = 1

x = -c时， y^2 = (1 - (c/a)^2) a^2 (1-(c/a)^2) = a^2/4, 2y = a = 根号（2）

a^2 = 2, b^2 = 1

x^2/2 + y^2 = 1

如图，OC-AB垂直，D 为AB与x轴交点，设D(d,0)，则AB 方程为 x/d + y/2 = 1

A,B 满足 y^2 = 1 - x^2/2, x^2 = (d-dy/2)^2

解得A，B纵坐标分别为：yA = , yB =

S-AOB = 1/2 d (yA-yB) =

解得，S-AOB面积最大值为根号(2)/2,此时AB = 1.5