高数 求极限的问题

Question

这个题怎么用洛必达 上下求导做

Answer 1

let
u=x^2-t^2
du= -2tdt
t=0, u= x^2
t=x, u=0
∫(0->x) tf(x^2-t^2)dt
=-(1/2) ∫(x^2->0) f(u) du
=(1/2) ∫(0->x^2) f(t) dt
let
v=x-t
dv=-dt
t=0, v=x
t=x, v=0
∫(0->x) f(x-t)dt
=-∫(x->0) f(v) dv
=∫(0->x) f(t) dt
lim(x->0) ∫(0->x) tf(x^2-t^2)dt / [x^2.∫(0->x) f(x-t)dt]
=lim(x->0) (1/2) ∫(0->x^2) f(t) dt / [x^2.∫(0->x) f(t) dt]
(0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) x.f(x^2) / [ x^2.f(x) + 2x.∫(0->x) f(t) dt]
=lim(x->0) f(x^2) / [ xf(x) + 2∫(0->x) f(t) dt]
(0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) 2x.f'(x^2) / [ xf'(x) +f(x) + 2f(x)]
=lim(x->0) 2x.f'(x^2) / [ xf'(x) + 3f(x)]
分子分母同时除以x
=lim(x->0) 2f'(x^2) / [ f'(x) + 3f(x)/x]
=2f'(0)/[f'(0) +3f'(0)]
=1/2追问

请问这样哪里不对

追答

不对

原式 

=lim(x->0) (1/2) ∫(0->x^2) f(t) dt / [x^2.∫(0->x) f(t) dt]

追问

哦哦哦 明白了 没看清 谢谢

如果用正确的原式 是不是也不能用直接上下求导的方法求出答案

追答

原式
=lim(x->0) (1/2) ∫(0->x^2) f(t) dt / [x^2.∫(0->x) f(t) dt]
直接上下求导的方法 (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) x.f(x^2) / [ x^2.f(x) + 2x.∫(0->x) f(t) dt]
=.....

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Answer 2

极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算...

Answer 3

高数求极限题，主要就是利用等价无穷小代替求极限时，只能用在乘积与商的运算；对于求极限时，和差运算是不能直接利用等价无穷小代替求极限的。这是此题错误的原因。3、此高数求极限，应该用到麦克劳林公式。4、根据...

Answer 4

高数求极限题，主要就是利用等价无穷小代替求极限时，只能用在乘积与商的运算；对于求极限时，和差运算是不能直接利用等价无穷小代替求极限的。这是此题错误的原因。3、此高数求极限，应该用到麦克劳林公式。4、根据...