齐次线性方程组一定有解吗?

Question

如题所述

Answer 1

根据线性方程组有解判别定理，齐次线性方程组中系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，所以齐次线性方程组一定有解（至少有一个零解）。

若齐次线性方程组中方程的个数小于未知数的个数，即系数矩阵的秩小于未知数的个数，则方程组有无穷多解（即有非零解）。

如果m<n（行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

扩展资料：

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数）。

若m<n，则一定n>r，则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。