第1个回答 2022-07-09
大家好，欢迎大家一起来探索勾股数的神奇规律：
（1）第一组数据 （2）第二组数据
3，4，5， 6，8，10
5，12，13 8，15，17
7，24，25 10，24，26
9，40，41 12，35，37
11，60，61 14，48，50
13，84，85 16，63，65
15，110，111 18，80，82
一、引
根据题目的提示，我们可以发现这些数都符合勾股定理（a²+b²=c²），并且均为正整数，所以上述所有数组都是勾股数。
下面让我们探索勾股数的规律吧٩(๑^o^๑)۶
二、勾股数的规律
1、我们先观察第一组数据。首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。表面上似乎只能看到这么多，我们继续深入。
我们用乘方进行尝试。先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。
3²=9，5²=25，7²=49
大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。即：
3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25
我们再试几组进行验证。
9²=81=40+41，11²=121=60+61
目前看来这个规律是正确的。那么我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。那么总结这两点就可初步发现以下规律：
当然，上面数据再多也只是特例，让我们用代数式进行普遍性的验证：
[(n²+1)/2]² - [(n²-1)/2]²
=(n²+1)²/4 - (n²-1)²/4
=[n⁴+2n²+1-n⁴+2n²-1]/4
=n² （勾股定理逆定理）
验证成功，上述规律正确✔️o(^o^)o
2、第一组数据探索出了规律，我们继续探索第二组数据。
我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。
6²=36， 8²=64， 10²=100
10+8=18，15+17=32，24+26=50
这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。
12²=144=2(35+37)，14²=196=2(48+50)
初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：
设m为一正偶数，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：
m，(m²/4)-1，(m²/4)+1
验证:[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²
=[(m²/4)²+m²+1]-[(m²/4)²-m²+1]
=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1
=m²
验证成功，规律正确✔️ 这点可总结为以下规律：
3、规律总结完了吗？当然没有。还有一些特殊的勾股数需要我们探索⊙v⊙
下面我们看这些数：
①12，16，20 ②18，24，30
首先根据勾股定理可以判断它们都是勾股数。但是仔细观察，我们发现它们每组的三个数都是一组勾股数的正整数倍。
3，4，5分别乘4得12，16，20
6，8，10分别乘3得18，24，30
一组勾股数的正整数倍也是一组勾股数吗？我们还是用代数式验证一下：
设a²+b²=c²
则各项乘n倍后为na²+nb²=nc²
n(a²+b²)=nc²
符合等式的基本性质，规律成立✔️我们可以由此进行总结：
三、结
ps：本次探索成果主要用于寻找勾股数，而用其逆命题判断勾股数时可能会有覆盖不完全现象(如20，21，29)，有兴趣的小伙伴可以继续深入吖。
那么本次关于勾股数神奇规律的探索就至此告一段落了，一起期待下个课题吧。
∪･ω･∪