实数系基本定理达布定理

如题所述

第1个回答 2021-07-12

达布定理的定义:

设函数f(x)在[a,b]区间上可导，虽然导函数未必连续，但是却具有“介值性”。
简单说:若f'+(a)>0,f'-(b)<0,则在(a,b)内至少有一点c,使得f'(c)=0.

我们称这个命题为“达布定理”。这是导函数的一个重要特点。其证明如下:
由于 f'+(a)>0，知 lim[f(x)-f(a)]/(x-a)>0, 根据极限的保号性，在a的右邻域内f(x)>f(a).
这说明f(a)不是最大值。
同理，f(b)也不是最大值。
f 的最大值只能在(a,b)内部某一点 c 处取得，c 必为极大值点，根据费马定理，f'(c)=0.

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