近世代数理论基础31：可分扩张

Question

如题所述

Answer 1

定义：设F是一个域,E是F的一个代数扩张, 为E中的元,若 在F上的极小多项式没有重根,则称 在F上是可分的,若E中任一元在F上都是可分的,则称E为F的一个可分扩张,否则称E为F的一个不可分扩张

引理：设 是域F上的一个不可约多项式,若 ,则 没有重根,若 ,则 有重根当且仅当 ,其中 是 上的多项式

证明：

定理：特征0的域的任何代数扩张都是可分扩张

特征不是0的域,则有

定理：有限域的任一代数扩张都是可分扩张

证明：

定理：任一域的有限可分扩张一定是单扩张

证明：

定义：设F为域, , ,当 没有重根时,称f(x)为F上(F[x]中)的可分多项式