初三几何数学题，考试压轴题，求解析

Question

1、如图（1），（2），四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F ．（1）如图（1），当点E 在AB 边的中点位置时：①通过测量 ，DE , EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是_________；②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是_________；③请证明你的上述两个猜想．（2）如图（2），当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系．

Answer 1

根据图形可以得到DE=EF，NE=BF，要证明这两个关系，只要证明△DNE≌△EBF即可．在第二个图形中，只要验证一下这个相等关系是否还成立就可以．解：（1）①DE=EF；
②NE=BF；
③∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∵N，E分别为AD，AB中点，
∴AN=DN=
1/2AD，AE=EB=
1/2AB，
∴DN=BE，AN=AE，
∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠FEB=90°，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠FEB=∠ADE，
又∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，
又∵∠A=90°，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，
又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF，NE=BF．
（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），
连接NE，则点N可使得NE=BF．
此时DE=EF．
证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．点评：解决本题的关键就是求证△DNE≌△EBF．