通俗的理解伽马(gamma)函数，具体如下：
我为什么要在乎garmma分布？
使用伽马函数定义了许多概率分布，例如伽马分布，Beta分布，狄利克雷分布，卡方分布和学生t分布等。对于数据科学家，机器学习工程师，研究人员来说，伽马函数可能是一种最广泛使用的函数，因为它已在许多分布中使用。
然后将这些分布用于贝叶斯推理，随机过程（例如排队模型），生成统计模型（例如潜在狄利克雷分配）和变分推理。因此，如果您很好地了解了Garmma函数，您将对其中出现的许多应用程序有更好的了解！
1、为什么需要伽玛函数？
因为我们要泛化阶乘！
阶乘函数仅针对离散点（对于正整数-上图中的黑点）定义，但是我们希望连接黑点。我们想将阶乘函数扩展到所有复数。阶乘的简单公式x！=1*2…x，不能直接用于小数值，因为它仅在x是整数时才有效。因此，数学家一直在寻找...“什么样的function将这些点平滑地连接起来，并为我们提供所有实际值的阶乘？”
但是，他们找不到可以表示x的和，乘积，幂，指数或对数的*有限*组合！直到…的实数。
2、欧拉发现了伽玛函数。（在18世纪）
上面的公式用于找到z的任何实数值的Gamma函数的值。假设您要计算Γ（4.8）。您将如何解决上述整合？可以手动计算Γ（4.8）吗？也许使用零件积分？
试试看，让我知道您是否找到有趣的方式！对于我（以及到目前为止的许多其他人）而言，没有快速简便的方法手动评估分数的Gamma函数。好吧，那么就不用分析了。您能否实现从0到无穷大的积分-以编程方式添加术语“无限次”？
您可以通过几种方法来实现。最常用的两种实现是斯特林近似和Lanczos近似。
[For implementation addicts:]For implementation addicts:the codes of Gamma function(mostly Lanczos approximation)in60+different language- C,C++,C#,python,java,etc.
让我们计算Γ（4.8）使用计算机在已经实现的。
我们得到了17.837。正如我们所期望的，17.837介于3！（=Γ（4）=6）和4！（=Γ（5）=24）之间。（当z是自然数时，Γ（z）=（z-1）！我们将很快证明这一点。）与只需要正整数的阶乘不同，我们可以将任何实数/复数输入z，包括负数。Gamma函数连接黑点，并很好地绘制曲线。
Confusion-buster:我们正在积分从0到无穷大的x（NOT z）。•x是正在集成的辅助变量。•我们没有将4.8插入x。我们将4.8插入z。
3、Gamma函数如何对阶乘函数进行插值？
如果看一下Gamma函数，您会注意到两件事。首先，相对于z，它绝对是一个递增函数。其次，当z是自然数时，Γ（z+1）=z！（我保证我们会尽快证明这一点！）因此，我们可以期望Gamma函数连接阶乘。Gamma函数如何以当前项x^ z和e^-x结束？我不确切知道欧拉的思维过程是什么，但是他是发现自然数e的那个人，因此他必须做很多实验，将e与其他函数相乘才能找到当前形式。
4、Gamma函数的图形是什么样的？
当x变为无穷大∞时，第一项（x^ z）也变为无穷大∞，但是第二项（e^-x）变为零。然后，伽玛函数会收敛到有限值吗？
我们可以使用L'Hôpital规则严格证明它收敛。但是我们也可以毫不费力地看到它的融合。如果您考虑一下，我们正在积分x^ z（一个多项式递增函数）和e^-x（一个指数递减函数）的乘积。因为e^-x的值下降快于x^ z的值，所以Gamma函数很可能收敛并具有有限的值。让我们绘制每个图形，因为眼见为实。x^ z* e^-x的图让我们看一下Γ（4.8）的情况。
图下绿色阴影区域从0到无穷大，Γ（4.8）=3.8！Python代码用于生成上面的漂亮图。自己绘制，看看z如何改变Gamma函数的形状！
########################
#f(x)=exp(-x)graph#
########################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Create x and y
x= np.linspace(-2,20,100)
y= np.exp(-x)
#Create the plot
fig,ax= plt.subplots()
plt.plot(x,y,label='f(x)=exp(-x)',linewidth=3,color='palegreen')
#Make the x=0,y=0thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True,which='both')
ax.axhline(y=0,color='k')
ax.axvline(x=0,color='k')
#Add a title
plt.title('f(x)=exp(-x)',fontsize=20)
#Add X and y Label
plt.xlabel('x',fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)',fontsize=16)
#Add a grid
plt.grid(alpha=.4,linestyle='--')
#Show the plot
plt.show()
####################
#f(x)=x^z graph#
####################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Create x and y
x= np.linspace(0,2,100)
y1=x**1.3
y2=x**2.5
y3=x**3.8
#Create the plot
fig,ax= plt.subplots()
plt.plot(x,y1,label='f(x)=x^1.3',linewidth=3,color='palegreen')
plt.plot(x,y2,label='f(x)=x^2.5',linewidth=3,color='yellowgreen')
plt.plot(x,y3,label='f(x)=x^3.8',linewidth=3,color='olivedrab')
#Make the x=0,y=0thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True,which='both')
ax.axhline(y=0,color='k')
ax.axvline(x=0,color='k')
#Add a title
plt.title('f(x)=x^z',fontsize=20)
#Add X and y Label
plt.xlabel('x',fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)',fontsize=16)
#Add a grid
plt.grid(alpha=.4,linestyle='--')
#Add a Legend
plt.legend(bbox_to_anchor=(1,1),loc='best',borderaxespad=1,fontsize=12)
#Show the plot
plt.show()
###############################
#f(x)=x^(3.8)*e^(-x)graph#
###############################
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Create x and y
x= np.linspace(0,20,100)
y= x**3.8*np.exp(-x)
#Create the plot
fig,ax= plt.subplots()
plt.plot(x,y,label='f(x)=x^(3.8)*np.exp(-x)',linewidth=3,color='palegreen')
ax.fill_between(x,0,y,color='yellowgreen')
#Make the x=0,y=0thicker
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True,which='both')
ax.axhline(y=0,color='k')
ax.axvline(x=0,color='k')
#Add a title
plt.title('f(x)=x^(3.8)*e^(-x)',fontsize=20)
#Add X and y Label
plt.xlabel('x',fontsize=16)
plt.ylabel('f(x)',fontsize=16)
#Add a grid
plt.grid(alpha=.4,linestyle='--')
#Add a Legend
plt.legend(bbox_to_anchor=(1,1),loc='upper right',borderaxespad=1,fontsize=12)
#Show the plot
plt.show()
5、伽玛函数属性
如果您从这篇文章中删除一件事，应该是本节。
>给定z>1Γ（z）=（z-1）*Γ（z-1）或将其写为Γ（z+1）=z*Γ（z）
让我们使用部分集成和Gamma函数的定义来证明它。
如果n是一个正整数C（n）=（n-1）！
什么是Γ（1）？
因此，Γ（n）=（n-1）！
您可能还已经看到表达式Γ（n+1）=n！而不是Γ（n）=（n-1）！。这只是使右手边n！，而不是（n-1）！我们所做的就是将n移1。
6、使用Gamma函数的属性，显示Gamma分布的PDF积分为1
快速回顾一下Gamma“分布”（不是Gamma“函数”！）：Gamma分布直觉和推导。证明如下：
问答：
1、伽玛函数多大了？很老。大约300年。有趣的旁注：欧拉（Euler）在64岁时失明，但是在失明后他完成了近一半作品。
2、一些有趣的价值观：C（1/2）=平方（）许多有趣的方式来表明这一点：Γ(1/2)=sqrt()Γ(-1)=Γ(-2)=Γ(-3)=infinity你能证明这些吗？3.这是快速查看Gamma函数图的实数。
伽马函数\Gamma(z)\Gamma(z)用蓝色绘制，而\Gamma(z)\Gamma(z)+sin(πz)sin(πz)用绿色绘制。（请注意正整数处的交点，因为sin(πz)sin(πz)为零！）两者都是对非整数的阶乘分解的有效解析延续。