已知函数f（x）的定义域为A，①如果对于任意x1、x2∈A，x1≠x2，都有f（...

Question

已知函数f（x）的定义域为A， ①如果对于任意x1、x2∈A，x1≠x2，都有f（x1+x22）＜12[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凹函数． ②如果对于任意x1、x2∈A，x1≠x2，都有f（x1+x22）＞12[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凸函数． （1）判断函数y=x2是凹函数还是凸函数，并加以证明； （2）判断函数f（x）=log2x是凹函数还是凸函数，并加以证明．

Answer 1

解：（1）函数y=x2的定义域是R，是凹函数．
证明如下：
∀x1、x2∈（0，+∞），x1≠x2，
f（x1+x22）=(x1+x22)2，12[f（x1）+f（x2）]=12[x12+x22]．
∵f（x1+x22）-12[f（x1）+f（x2）]=(x1+x22)2-12[x12+x22]=-14(x1-x2)2＜0，
所以f（x1+x22）＜12[f（x1）+f（x2）]，即函数f（x）=x2是凹函数．
（2）函数f（x）=log2x的定义域是（0，+∞），函数是凸函数．
证明如下：
∀x1、x2∈（0，+∞），x1≠x2，
f（x1+x22）=log2（x1+x22），12[f（x1）+f（x2）]=12log2x1+12log2 x2=12log2x1x2
∵f（x1+x22）-12[f（x1）+f（x2）]
=log2（x1+x22）-12 log2 x1 x2=log2（x1+x22）-log2 x1x2=log2（x1+x22x1x2）
而x1+x2-2x1x2=（x1-x2）2＞0，所以x1+x22x1x2＞1，log2（x1+x22x1x2）＞0，
所以f（x1+x22）＞12[f（x1）+f（x2）]，即函数f（x）=log2x是凸函数．…（16分）