利用高斯公式求曲面积分

Question

利用高斯公式计算曲面积分∫∫4xydydz-y²dzdx+yzdxdy 其中Z为平面x=0 y=0 z=0 x=1y=1 z=1 所围立方体的整个表面外侧

Answer 1

本题满足高斯公式，
分别对x、y、z求偏导数后转化为一个三重积分后有，3∫∫∫ydxdydz
积分域为实心立方体。
到此可以直接用直角坐标积分这个三重积分得出结果。但是本人这里使用一个对称技巧。
3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2]
dxdydz
=3∫∫∫(y-1/2)
dxdydz
+3∫∫∫（1/2）
dxdydz
=0
+
3∫∫∫（1/2）
dxdydz
=（3/2）×1
=3/2（1为这个单位立方体体积，注意∫∫∫(y-1/2)
dxdydz
因为这个立方体关于平面y-1/2=0对称，且y-1/2=0为奇次方，所以积分值为0）