已知函数f(x)=inx/x。（1）求函数y=f(x)的图像在x=1/e处的切线方程，（2）求y-

Question

f（x）的最大值，（3）比较2009的2010次方与2010的2009次方的大小，并说明为什么

Answer 1

解：(I)∵f(x)=(lnx)/x
∴f’(x)=[(lnx)’x-(lnx)(x)’]/x^2=[(1/x)x-(lnx)×1]/x^2=(1-lnx)/x^2
∴f’(1/e)=[1-ln(1/e)]/(1/e)^2=[1-(-1)]/(1/e^2)=2e^2
∵f(1/e)=[ln(1/e)]/(1/e)=-1×e=-e
∴切线方程为y+e=2e^2(x-1/e)，即y=2e^2x-3e.
(II)定义域为x∈(0，+∞).
令f’(x)=(1-lnx)/x^2=0，则1-lnx=0，lnx=1，x=e.
∵当0<x<e时，lnx<lne=1，1-lnx>0，f’(x)>0，f(x)单调递增；
当 x>e时，lnx>lne=1，1-lnx<0，f’(x)<0，f(x)单调递减
∴x=e是极大值点，f(e)=1/e是极大值
∵在(0，+∞)上，极点唯一
∴f(e)=1/e是最大值.

3、

2009的2010次方
=2009^2009*2009 2010的2009次方
=(2009+1)^2009
=2009^2009+2009^2008*2009+2009^2007*2009*2008...<2009^2009*2009

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