第1个回答 2020-01-28
取|f'(x)|在[0,1]上的最小值k=|f'(a)|
利用积分第一中值定理
\int_0^1
|f'(x)|
dx
=
|f'(b)|
<=
|f'(b)-f'(a)|
+
|f'(a)|
=
|\int_a^b
f''(x)
dx|
+
k
<=
|\int_a^b
|f''(x)|
dx|
+
k
<=
\int_0^1
|f''(x)|
dx
+
k
1.若k=0则结论已经成立
2.若k>0，那么f(x)严格单调，在[0,1]上最多只有一个零点f(c)=0
2.1)若零点c确实存在，则|f(x)|=|f(x)-f(c)|>=k|x-c|，积分即得
\int_0^1
|f(x)|
dx
>=
k/4
这样
\int_0^1
|f'(x)|
dx
<=
4*\int_0^1
|f(x)|
dx
+
\int_0^1
|f''(x)|
dx
2.2)若f没有零点，那么不妨设|f(0)|<|f(1)|
\int_0^1
|f(x)|
dx
=
|\int_0^1
f(x)
dx|
>=
|\int_0^1
f(x)-f(0)
dx
+
f(0)|
=
|\int_0^1
f(x)-f(0)
dx|
+
|f(0)|
=
\int_0^1
|f(x)-f(0)|
dx
+
|f(0)|
>=
k/4
+
|f(0)|
>
k/4
同样可以得到
\int_0^1
|f'(x)|
dx
<
4*\int_0^1
|f(x)|
dx
+
\int_0^1
|f''(x)|
dx
不论哪种情况都强于你要证的不等式