这个问题的逆否命题即等价命题为：“相同周长图形圆的面积最大”
这是微分几何的一个问题,你可以看看下面这个“专业”数学小组的讨论
http://www.douban.com/group/topic/5626272/ 其中第5楼提供了一个“初等证明”的方法
http://mathforum.org/library/drmath/view/53668.html 这是国外的一些博士给出的证明,是英语写的.
其中第一种方法的大致思路是先利用函数导数=0时函数取极值证明对于相同周长的任意N边形中,正N边形的面积最大；然后给定一个半径为r的圆的周长2pi*r,计算出周长为2pi*r的正N边形的面积为(1/2)r * cos(pi/n) * P/n
由于cos(pi/n)无穷大时,cos(pi/n)=1
而n->无穷大时,正N边形即为圆
由此得证.
其他的方法如果有兴趣你也可以看看.
对活跃思维有好处.
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当然,这个证明是否严密还不确定.因为它只讨论了凸多边形的情形.
就像前面那个小组讨论里有人提到的：
“...最先的证明是1902年由Hurwitz给出的,运用了Wirtinger不等式（而这个不等式的证明又应用了傅里叶级数理论）,方法比较高级.
另一个较为初等的证明是1936年由Schmidt给出,方法相对初等些.
这两个证明一般的整体微分几何书上应该都有...”