高数问题，无穷级数

Question

高数问题，无穷级数三道题的过程，麻烦大神写一下，感谢了

Answer 1

解：第1题，∵x∈(-1,1]时，ln(1+x)=∑[(-1)^n](x^n)/n，n=1,2，……，∞，∴(1+x)ln(1+x)=∑[(-1)^n](1+x)(x^n)/n。
第2题，∵[arctanx]'=1/(1+x^2)，而x^2<1]时，1/(1+x^2)=∑[(-1)^n]x^(2n)，n=0,1,2，……，∞，
∴xarctanx=x∑[(-1)^n]∫(0,x)x^(2n)dx=∑[(-1)^n][x^(2n+2)]/(2n+1)。
第3题，设y=arctan[(x+3)/(x-3)]，则x=0时，y=-π/4。两边对x求导，有y'=-3/(9+x^2)=(-1/3)/[1+(x/3)^2]。

而，(x/3)^2<1时，1/[1+(x/3)^2]=∑[(-1)^n](x/3)^(2n)。∴y'=-3/(9+x^2)=(-1/3)∑[(-1)^n](x/3)^(2n)。y=∫(0,x)y'dx=(-1/3)∑[(-1/9)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)-y丨(x=0)。
∴arctan[(x+3)/(x-3)]=(-1/3)∑[(-1/9)^n][x^(2n+1)]/(2n+1)+π/4，n=0,1，……，∞。∴C3=(-1/3)[(-1/9)^3]/(2*3+1)=1/15309。
供参考。