第1个回答 2022-07-06
定义：一个系数在数域P中的 的二次齐次多项式
称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型
注： 的系数写成 以方便讨论
定义：设 是两组文字,系数在数域P中的一组关系式
称为由 到 的一个线性替换,简称线性替换
若系数行列式 ,则称该线性替换为非退化的
注：线性替换把二次型变成二次型
令
由于
所以二次型可写成
将上式系数排成一个 矩阵
称为二次型的矩阵
因为
所以
注：二次型的矩阵都是对称的
令
则二次型可用矩阵的乘积表示
故
注：矩阵A中元素 正是 项系数的一半, 是 项系数,故二次型和它的矩阵相互唯一决定
若二次型
且 ,则
令
则线性替换可写成
或
设 是一个二次型
作非退化线性替换
可得一个 的二次型
考察B与A的关系
显然矩阵 也是对称的
由此可得前后两个二次型的矩阵的关系
定义：对数域P上 矩阵A,B,若存在数域P上可逆的 矩阵C使 ,则称A,B为合同的
1.自反性：
2.对称性：
3.传递性：
注：经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的
当线性替换 非退化时
也是一个线性替换
把所得的二次型还原