设f(u)在(0,+∞)内二阶可导

Question

设函数f(u)在(0,∞)内具有二阶导数,且z=f(√x^2 y^2),f(0)=0,f'(1)=1,
求：1、z对x的二阶偏导数、z对y的二阶偏导数
2、若z对x的二阶偏导数加z对y的二阶偏导数等于0,求函数f(u)的表达式

Answer 1

z=f(√(x^2+y^2))

u=√(x^2+y^2) ∂u/∂x=x/u ∂u/∂y=y/u

∂z/∂x=f'(u)(x/u) ∂²z/∂x²=[y²f'(u)+ux²f''(u)]/u^3

∂z/∂y=f'(u)(y/u) ∂²z/∂y²=[x²f'(u)+uy²f''(u)]/u^3

由[y²f'(u)+ux²f''(u)]/u^3+[x²f'(u)+uy²f''(u)]/u^3=0

即：u²f'(u)+uu²f''(u)=0

f'(u)+uf''(u)=0

这方程可以解了.