微积分（不定积分）

Question

设f'（tanx＋1）＝cos²x＋sec²x，且f（1）＝2，求f（x）。求解……谢啦！！！

Answer 1

解：
f '(tanx+1)=cos²x+sec²x=1/(1+tan²x)+1+tan²x
令t=tanx+1，
则tanx=t-1
f '(t)=1/[1+(t-1)²]+1+(t-1)²
两端同时积分得
f(t)=∫1/[1+(t-1)²]dt +∫[1+(t-1)²]dt
=arctan(t-1)+t+(t-1)³/3+C
把f(1)=2代入得
0+1+0+C=2，
解得C=1
故f(x)=arctan(x-1)+x+(x-1)³/3+1本回答被提问者采纳

Answer 2

cos^2x=(1/2)(cos2x+1)=(1/2)[(1-tan^2x)/(1+tan^2x)+1]=1/(1+tan^2x)
sec^2x=1+tan^2x

f'(tanx+1)
=1/(tan^2x+1)+1+tan^2x
所以：
f'(x)=1/(x^2+1)+(x^2+1)
∫f'(x)dx=∫dx/(1+x^2)+∫(1+X^2)dx
则：
f(x)=arctanx+x+x^3/3+c

f(1)=arctan1+1+1/3+c=2,所以c=2/3-π/4
即f(x)=arctanx+x+x^3+2/3-π/4.