证明如下:
假设A=0.99999...无限循环
那么: 9*A = 10*A - A = 9.9999..-0.9999... =9
9A=9,当然A=1
所以任何一个如0.111....,0.333...这样循环的小数都可表示成1/9，3/9，所以将0.99...可以表示为1.
关于实数完备性质的疑问(非理科专业勿看,免得伤心.)
数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数。也就是说每一个实数都可以在实数轴上找到一一对应的点。每个点也有与之对应的实数存在。实数的完备性等价与欧几里德几何的直线没有空隙的定义。
第一次数学危机，以毕达哥拉斯古希腊数学家发现了无理数的重要性；第二次数学危机，牛顿发明微积分，1666年他的《流数简论》标志微积分诞生；第三次数学危机，我们又发现了级数问题。
在级数问题中，古希腊一位名叫Zeno的学者提出过一个有趣的悖论，其中著名的“Achilles（希腊传说中的英雄）追赶乌龟”问题，大概说乌龟在Achilles前面S1米处向前爬，Achilles在后面追，当Achilles花了t1时间追到S1处时，乌龟又前行到了S2处；当Achilles花t2时间追到S2处是，乌龟又前行到了S3处。这样下去，Achilles永远追不上乌龟。显然，这一结论完全有悖于常识，是绝对的荒谬的。但这个悖论，却为级数发展提供了思想。根据这个问题，我也想到了一些关于极限的问题。
现在，我们在实数范围内讨论几个有理数，当然，我前提定义这所有讨论都在不考虑极限问题前提下。也就是说，不用级数问题来考虑，只纯粹讨论实数的完备性。
我们知道，1÷3=0.333333...的，也就是说，1/3和0.333333...是相等的，那么他们在实数轴上对应了一个相同的点。
1/3+1/3+1/3=1
0.333333...+0.333333...+0.333333...=0.333333...×3=0.999999...
根据等式传递性，1=0.999999...的。而在级数问题中，我们用极限来解决此类问题，1的确是等于0.999999...。但是，我说了，我们不考虑极限问题，在实数轴上，明显0.999999...和1对应的不是同一个点。好比说一个集合S={A|0<A<1,A∈R}，0.999999...∈S，但是1却不是S的元素，1仅仅是S的上确界而已。也就是说0.999999...≠1，这样，便产生了矛盾。