为什么∫xsinx dx= nπ?

Question

如题所述

Answer 1

consider

∫ xsinx dx

=-∫ xdcosx

= -xcosx +∫ cosxdx

= -xcosx - sinx + C

∫(0->nπ) x|sinx| dx

=∫(0->π) xsinxdx -∫(π->2π) xsinxdx +∫(2π->3π) xsinxdx+...+(-1)^(n-1)∫((n-1)π->nπ) xsinxdx

=[-xcosx - sinx]|(0->π) -[-xcosx - sinx]|(π->2π)+...+(-1)^n.[-xcosx - sinx]|((n-1)π->nπ)

=π +(2π-π)+...+[nπ-(n-1)π]

=nπ

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。